Exercice 15

1. On a $f(2) = f\big(\frac{1}{2}\big) = \frac{4}{5}$, donc $f$ n'est pas injective. On verra à la question 2 que $f$ ne prend aucune valeur hors de $[-1\,,1]$. $$\boxed{f \text{ n'est ni injective ni surjective.}}$$

2. Pour tout réel $x$, $(1 - |x|)^{2} \geqslant 0$ donne $2|x| \leqslant 1 + x^{2}$, donc $|f(x)| \leqslant 1$. Réciproquement, soit $y \in [-1\,,1]$. Si $y = 0$, il est atteint en $0$. Sinon, l'équation $f(x) = y$ équivaut à $yx^{2} - 2x + y = 0$, de discriminant $4(1 - y^{2}) \geqslant 0$ : elle a au moins une solution réelle. $$\boxed{f(\mathbb{R}) = [-1\,,1]}$$

3. Soit $y \in [-1\,,1] \setminus \{0\}$. Les racines de $yx^{2} - 2x + y$ ont pour produit $1$. Si $|y| < 1$, elles sont distinctes, et une seule est dans $[-1\,,1]$ ; si $y = \pm 1$, il y a la racine double $\pm 1$. Dans tous les cas, l'équation $g(x) = y$ a une unique solution dans $[-1\,,1]$, la racine de plus petit module : $$x = \frac{1 - \sqrt{1 - y^{2}}}{y} = \frac{y}{1 + \sqrt{1 - y^{2}}}.$$ La seconde écriture, obtenue en multipliant par la quantité conjuguée, convient aussi pour $y = 0$, dont l'unique antécédent dans $[-1\,,1]$ est $0$. $$\boxed{g^{-1}(y) = \frac{y}{1 + \sqrt{1 - y^{2}}}}$$ À retenir : restreindre à la fois l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée permet de rendre bijective une application qui ne l'est pas. On reverra cette fonction dans le chapitre de trigonométrie, puisque $f(\tan\frac{\theta}{2}) = \sin\theta$.