Exercice 14

Dans chaque cas, on fixe un élément $y$ de l'ensemble d'arrivée et l'on montre que l'équation $f(x) = y$ a une unique solution dans l'ensemble de départ : c'est la méthode la plus sûre, car elle donne à la fois la bijectivité et la réciproque.

1. On a $f_{1}(x) = \mathrm{e}^{2x} + 2\mathrm{e}^{x}$. Posons $t = \mathrm{e}^{x}$, qui décrit $\mathbb{R}_{+}^{*}$ quand $x$ décrit $\mathbb{R}$. Pour $y > 0$, $$t^{2} + 2t = y \iff (t + 1)^{2} = 1 + y \iff t = -1 + \sqrt{1 + y},$$ la racine $-1 - \sqrt{1 + y}$ étant négative. Comme $y > 0$, le réel $-1 + \sqrt{1 + y}$ est strictement positif et possède un unique logarithme. $$\boxed{f_{1}^{-1}(y) = \ln\big(\sqrt{1 + y} - 1\big)}$$

2. Pour $y \geqslant 0$ et $x \geqslant 1$, l'équation $x - \frac{1}{x} = y$ équivaut à $x^{2} - yx - 1 = 0$. Ses deux racines ont pour produit $-1$ : une seule est positive, à savoir $\frac{y + \sqrt{y^{2} + 4}}{2}$, et elle est au moins égale à $\frac{0 + 2}{2} = 1$. $$\boxed{f_{2}^{-1}(y) = \frac{y + \sqrt{y^{2} + 4}}{2}}$$

3. Pour $y \geqslant \ln 7$ et $x \geqslant 2$, l'équation équivaut à $x^{2} + x + 1 - \mathrm{e}^{y} = 0$, de discriminant $4\mathrm{e}^{y} - 3 \geqslant 25$. Une seule racine est positive, et elle vérifie $x \geqslant \frac{-1 + 5}{2} = 2$. $$\boxed{f_{3}^{-1}(y) = \frac{-1 + \sqrt{4\mathrm{e}^{y} - 3}}{2}}$$

4. Pour $w \neq \mathrm{i}$ et $z \neq -3$, $$\frac{\mathrm{i}z - \mathrm{i}}{z + 3} = w \iff \mathrm{i}z - \mathrm{i} = wz + 3w \iff z(\mathrm{i} - w) = 3w + \mathrm{i} \iff z = \frac{3w + \mathrm{i}}{\mathrm{i} - w}.$$ Il reste deux vérifications. Le complexe obtenu est différent de $-3$, car $3w + \mathrm{i} = -3\mathrm{i} + 3w$ est impossible. Et $f_{4}$ est bien à valeurs dans $\mathbb{C} \setminus \{\mathrm{i}\}$, car $\mathrm{i}z - \mathrm{i} = \mathrm{i}z + 3\mathrm{i}$ est impossible. $$\boxed{f_{4}^{-1}(w) = \frac{3w + \mathrm{i}}{\mathrm{i} - w}}$$ Attention : l'erreur la plus répandue est d'oublier ces deux vérifications. Sans elles, on a seulement montré que $f_{4}$ est injective, pas qu'elle est bien définie ni que la formule obtenue tombe dans le bon ensemble.