Feuille d'exercicesMaths Sup – MPSI, chapitre 2

Applications et relations binaires

48 exercices corrigés · 11   20   16   1

Applications

• Exercice 1 Les quatre courbes ci-dessus sont, de gauche à droite, la courbe d'équation y = x^3 - x, le cercle de centre O et de rayon 1, sa moitié supérieure,…
• Exercice 2 Dans chacun des cas suivants, dire si les applications f et g sont égales, en justifiant à partir de la caractérisation de l'égalité de deux…
• Exercice 3 Soit A et B deux parties d'un ensemble E. 1. Montrer que min (1_A, 1_B), max (1_A, 1_B) et (1_A - 1_B)^2 sont les fonctions indicatrices de parties…
• Exercice 4 Soit E et F deux ensembles et f, g deux applications de E dans F. On suppose que ∀ (x,y) ∈ E^2, f(x) = f(y) ou g(x) = g(y). Montrer que l'une au…

Image directe et image réciproque

• Exercice 5 On considère la fonction sinus, de ℝ dans ℝ. 1. Déterminer les images directes sin (ℝ), sin (ℝ_(+)), sin ([0,2π]), sin ([0, π/2 ]) et sin ([-π, π/2…
• Exercice 6 On considère l'application begin array{r|ccl} f: & ℝ & longrightarrow & ℝ & x & longmapsto & 2x^2 - 4x + 1 end array 1. Déterminer f([0,1]),…
• Exercice 7 On note 𝕌 l'ensemble des nombres complexes de module 1, et l'on considère l'application begin array{r|ccl} f: & ℂ^() & longrightarrow & ℂ & z &…
• Exercice 8 Soit f: E → F une application, A, A' deux parties de E et B, B' deux parties de F. 1. Montrer que A ⊂ A' ⇒ f(A) ⊂ f(A') et que B ⊂ B' ⇒ f^(-1)(B) ⊂…
• Exercice 9 Soit f: X → X une application. On dit qu'une partie A de X est stable par f si f(A) ⊂ A. 1. Traduire la stabilité à l'aide de l'image réciproque,…

Composition

• Exercice 10 1. Pour f(x) = 3x + 1 et g(x) = x^2 - 1, définies sur ℝ, calculer f ∘ g et g ∘ f. 2. Écrire chacune des fonctions suivantes comme composée de deux…
• Exercice 11 On travaille avec des applications de ℝ dans ℝ. 1. Déterminer les fonctions affines f telles que f ∘ g = g ∘ f, où g(x) = 2x + 1. 2. Déterminer les…

Injections, surjections, bijections

• Exercice 12 Les applications suivantes sont-elles injectives ? surjectives ? bijectives ? begin array{ll} begin array{r|ccl} f_1: & ℕ & longrightarrow & ℕ & n &…
• Exercice 13 Même question pour les applications suivantes. begin array{ll} begin array{r|ccl} g_1: & ℝ^2 & longrightarrow & ℝ^2 & (x,y) & longmapsto & (x + y,…
• Exercice 14 Montrer que les applications suivantes sont bijectives et déterminer leur application réciproque. 1. begin array{r|ccl} f_1: & ℝ & longrightarrow &…
• Exercice 15 On considère l'application begin array{r|ccl} f: & ℝ & longrightarrow & ℝ & x & longmapsto & 2x/(1 + x^2) end array 1. L'application f est-elle…
• Exercice 16 1. Soit f: E → F une application et A une partie de E. Dire si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse, en justifiant par une…
• Exercice 17 1. Soit f: E → F, g: F → G et h: G → H trois applications. Montrer que si g ∘ f et h ∘ g sont bijectives, alors f, g et h le sont aussi. 2. Soit f:…
• Exercice 18 Soit E un ensemble, n ≥ 2 un entier et f: E → E une application telle que f^n = f. 1. Montrer que f est injective si et seulement si elle est…
• Exercice 19 Soit X et Y deux ensembles non vides et f: X → Y. 1. Montrer que f est injective si et seulement s'il existe g: Y → X telle que g ∘ f = id_X. Une…
• Exercice 20 Soit f: E → F une application entre deux ensembles non vides. 1. Montrer que f est injective si et seulement si, pour tout ensemble Z et toutes…
• Exercice 21 Soit f: E → F une application. Montrer les équivalences suivantes. 1. f est injective ⇔ pour toutes parties A, B de E, f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B). 2. f…
• Exercice 22 Soit f: E → F une application. On définit begin array{r|ccl} φ: & P(E) & longrightarrow & P(F) & X & longmapsto & f(X) end array et begin…
• Exercice 23 Soit Ω un ensemble et X, Y deux parties de Ω. On considère begin array{r|ccl} θ: & P(Ω) & longrightarrow & P(X) × P(Y) & A & longmapsto & (A ∩ X, A…
• Exercice 24 Soit f, g: ℕ → ℕ deux applications telles que f soit injective, g surjective, et f(n) ≤ g(n) pour tout n ∈ ℕ. Montrer que f = g. On pourra comparer,…
• Exercice 25 Soit E un ensemble fini à p éléments et F un ensemble fini à n éléments. 1. Montrer que l'application P(E) → 0,1^E, A ↦ 1_A, est bijective. En…
• Exercice 26 1. Montrer que l'application ℕ^2 → ℕ, (a,b) ↦ 2^a(2b + 1) - 1, est bijective. 2. En déduire, par récurrence, que ℕ^r est équipotent à ℕ pour tout r…

Relations binaires

• Exercice 27 Chaque diagramme représente une relation sur E = 1,2,3: une flèche de x vers y signifie x R y, et une boucle en x signifie x R x. 1. Pour chacune…
• Exercice 28 Soit E un ensemble fini à n ≥ 1 éléments. 1. Combien existe-t-il de relations binaires sur E ? de relations réflexives ? de relations symétriques ?…
• Exercice 29 1. Un élève propose la démonstration suivante: « Soit R une relation symétrique et transitive sur E, et soit x ∈ E. Si x R y, alors y R x par…

Relations d'équivalence

• Exercice 30 Montrer que chacune des relations suivantes est une relation d'équivalence, et décrire ses classes, en les dessinant lorsqu'il s'agit de parties du…
• Exercice 31 1. Résoudre dans ℝ les équations suivantes, puis donner leurs solutions dans [0,2π[: (a) 5x equiv x + π/2 [2π] (b) cos (3x) = cos (x). 2. Soit x et…
• Exercice 32 On munit E = ℤ × ℕ^() de la relation (p,q) R (p',q') ⇔ pq' = p'q. 1. Montrer que R est une relation d'équivalence, et déterminer la classe de (1,5).…
• Exercice 33 Soit E un ensemble non vide et A une partie de E. 1. On définit sur P(E) la relation X R Y ⇔ X ∩ A = Y ∩ A. Montrer que c'est une relation…
• Exercice 34 Soit R une relation quelconque sur un ensemble E. On définit sur E la relation ∼ par: x ∼ y si x = y, ou s'il existe des éléments x_0 = x, x_1, …,…

Relations d'ordre

• Exercice 35 Les relations suivantes sont-elles des relations d'ordre ? des relations d'équivalence ? Lorsqu'il s'agit d'un ordre, est-il total ? 1. Sur ℤ: x R y…
• Exercice 36 Soit (E, preccurlyeq) un ensemble ordonné et A une partie de E. On appelle borne supérieure de A le plus petit élément, s'il existe, de l'ensemble…
• Exercice 37 On définit sur ℕ^2 l'ordre lexicographique: (a,b) preccurlyeq (c,d) ⇔ (a < c ou (a = c et b ≤ d)). 1. Montrer que preccurlyeq est une relation…
• Exercice 38 On munit E = ℝ^ℝ de la relation f preccurlyeq g ⇔ ∀ x ∈ ℝ, f(x) ≤ g(x). 1. Montrer que preccurlyeq est une relation d'ordre. Est-elle totale ? 2.…
• Exercice 39 Soit E un ensemble et Phi: P(E) → P(E) une application croissante pour l'inclusion: X ⊂ Y ⇒ Phi (X) ⊂ Phi (Y). On note F = X ∈ P(E) mid Phi (X) ⊂ X…
• Exercice 40 Soit B une partie de ℕ^2. On dit qu'un point (a,b) de B est au sud-ouest de B si aucun autre point (a',b') de B ne vérifie à la fois a' ≤ a et b' ≤…

Exercices de synthèse

• Exercice 41 Vrai ou faux. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse par une démonstration ou un…
• Exercice 42 Soit E, F, G trois ensembles. Pour toute application φ: F × G → E et tout x ∈ F, on note φ(x,·) l'application « partielle » G → E, y ↦ φ(x,y). 1.…
• Exercice 43 Soit E un ensemble et f: E → E. On appelle racine carrée de f toute application g: E → E telle que g ∘ g = f. 1. Montrer qu'une racine carrée d'une…
• Exercice 44 Soit f: ℕ → ℕ une application strictement croissante telle que ∀ (m,n) ∈ ℕ^2, f(mn) = f(m) f(n), et telle qu'il existe un entier k ≥ 2 vérifiant…
• Exercice 45 Soit f et g deux bijections de ℤ dans ℤ, et begin array{r|ccl} h: & ℤ & longrightarrow & ℤ & k & longmapsto & f(k) g(k) end array 1. Montrer que…
• Exercice 46 Soit X un ensemble. Montrer que X est infini si et seulement si toute application f: X → X possède une partie stable, au sens de l'exercice 9,…
• Exercice 47 Deux parties X et Y de ℕ sont dites incomparables si aucune des deux n'est incluse dans l'autre, et presque disjointes si leur intersection X ∩ Y…
• Exercice 48 Soit E et F deux ensembles, f: E → F et g: F → E deux injections. Le but de l'exercice est de construire une bijection de E sur F: c'est le théorème…