Exercice 35

1. La relation n'est pas réflexive, puisque $1 \neq -1$. Elle n'est donc ni un ordre ni une équivalence ; elle n'est d'ailleurs pas transitive, puisque $1 \,\mathcal{R}\, (-1)$ et $(-1) \,\mathcal{R}\, 1$, sans avoir $1 \,\mathcal{R}\, 1$. $$\boxed{\text{Ni ordre ni équivalence}}$$

2. Comme $\cos^{2} x = 1 - \sin^{2} x$, on a $x \,\mathcal{R}\, y \iff \sin^{2} x = \sin^{2} y$ : c'est une équivalence, d'après l'exercice 30. Ce n'est pas un ordre, puisque $0 \,\mathcal{R}\, \pi$ et $\pi \,\mathcal{R}\, 0$. $$\boxed{\text{Équivalence, dont la classe de } x \text{ est } \{y \mid y \equiv x \ [\pi] \ \mathrm{ou}\ y \equiv -x \ [\pi]\}}$$

3. La relation est réflexive, avec $p = q = 1$. Elle est transitive : si $y = p\,x^{q}$ et $z = p'\,y^{q'}$, alors $z = p'p^{q'}\,x^{qq'}$. Pour l'antisymétrie, supposons $y = p\,x^{q}$ et $x = p'\,y^{q'}$. Si $x = 0$, alors $y = 0$. Sinon $x \geqslant 1$, donc $y = p\,x^{q} \geqslant x$, et de même $y \geqslant 1$ donne $x \geqslant y$. Enfin, $2$ et $3$ ne sont pas comparables, car aucun des deux n'est de la forme $p$ fois une puissance de l'autre. $$\boxed{\text{Ordre partiel}}$$

4. Les trois propriétés se vérifient composante par composante, à partir de celles de l'ordre sur $\mathbb{R}$. Les complexes $1$ et $\mathrm{i}$ ne sont pas comparables. $$\boxed{\text{Ordre partiel}}$$

5. La relation est réflexive et transitive, mais pas antisymétrique : la fonction nulle et l'indicatrice de $]1\,,+\infty[$ sont en relation dans les deux sens, sans être égales. Elle n'est pas symétrique non plus. $$\boxed{\text{Ni ordre ni équivalence : c'est un préordre}}$$

6. La relation est réflexive et transitive. Elle n'est pas antisymétrique, car $x \mapsto x$ et $x \mapsto x + 1$ ont la même image $\mathbb{R}$, ni symétrique, car $\{0\} \subset \mathbb{R}$ mais $\mathbb{R} \not\subset \{0\}$. $$\boxed{\text{Ni ordre ni équivalence : c'est un préordre}}$$ Attention : l'erreur la plus répandue est de conclure trop vite qu'une relation « qui ressemble à $\leqslant$ » est un ordre. Les relations 5 et 6 ne comparent qu'une partie de l'information sur les fonctions, d'où le défaut d'antisymétrie ; l'exercice 29 montre comment en tirer une équivalence.