Exercice 36

1. Supposons que $A$ ait un plus grand élément $M$. C'est un majorant de $A$, et tout majorant $m$ de $A$ vérifie $M \preccurlyeq m$, puisque $M \in A$. Donc $M$ est le plus petit des majorants : $M = \sup A$, qui appartient à $A$. Réciproquement, si $\sup A$ existe et appartient à $A$, c'est un élément de $A$ qui majore $A$, donc son plus grand élément. $$\boxed{\max A \text{ existe} \iff \big(\sup A \text{ existe et } \sup A \in A\big), \text{ et alors } \max A = \sup A.}$$

2. Les diviseurs de $60 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5$ sont les $2^{a}3^{b}5^{c}$ avec $a \in \{0,1,2\}$ et $b$, $c \in \{0,1\}$. Dans le diagramme de Hasse, on relie $d$ à $d'$ lorsque $d'/d$ est un nombre premier.

Le diagramme a la forme d'un prisme : trois niveaux pour la puissance de $2$, et un carré pour les facteurs $3$ et $5$. On y lit par exemple que les majorants communs de $4$ et $6$ sont $12$ et $60$, et que le plus petit est $12$.

Pour deux entiers $a$ et $b$, les majorants de $\{a,b\}$ sont leurs multiples communs ; d'après le cours de mathématiques expertes, ce sont exactement les multiples de $\mathrm{ppcm}(a,b)$, qui est donc le plus petit d'entre eux pour la divisibilité. De même, les minorants sont les diviseurs communs, qui sont exactement les diviseurs de $\mathrm{pgcd}(a,b)$. $$\boxed{\sup\{a,b\} = \mathrm{ppcm}(a,b) \qquad \inf\{a,b\} = \mathrm{pgcd}(a,b)}$$

3. Un entier $n \geqslant 2$ ne majore que lui-même si aucun entier $d \geqslant 2$ autre que $n$ ne divise $n$ : ce sont les éléments minimaux. $$\boxed{\text{Ce sont les nombres premiers.}}$$ Il n'y a pas de plus petit élément : il diviserait $2$ et $3$, donc leur $\mathrm{pgcd}$, qui vaut $1$. On a donc une infinité d'éléments minimaux, mais aucun plus petit élément : dans un ordre partiel, « minimal » et « plus petit » sont deux notions bien différentes.

4. Une partie $M$ majore tous les $A_{i}$ si et seulement si elle contient leur réunion, et une partie $m$ les minore si et seulement si elle est contenue dans leur intersection. $$\boxed{\sup_{i \in I} A_{i} = \bigcup_{i \in I} A_{i} \qquad \inf_{i \in I} A_{i} = \bigcap_{i \in I} A_{i}}$$ Pour la famille vide, la borne supérieure est $\varnothing$ et la borne inférieure est $E$ : tout élément de $\mathcal{P}(E)$ majore et minore la famille vide.