Exercice 37

1. Réflexivité : $a = a$ et $b \leqslant b$. Antisymétrie : si $(a,b) \preccurlyeq (c,d)$ et $(c,d) \preccurlyeq (a,b)$, alors $a \leqslant c$ et $c \leqslant a$, donc $a = c$, puis $b \leqslant d$ et $d \leqslant b$. Transitivité : si $(a,b) \preccurlyeq (c,d) \preccurlyeq (e,f)$ et si l'une des deux inégalités entre premières composantes est stricte, alors $a < e$ ; sinon $a = c = e$ et $b \leqslant d \leqslant f$. Totalité : si $a \neq c$, l'un des deux est plus petit ; si $a = c$, on compare $b$ et $d$. $$\boxed{\preccurlyeq \text{ est un ordre total, sans plus grand élément, car } (a,b) \prec (a + 1, 0).}$$

2. Un majorant $(c,d)$ de $A$ vérifierait $c \geqslant p$ pour tout $p$ : la partie $A$ n'est pas majorée. La partie $B$ est majorée par $(3,0)$. Elle n'a pas de plus grand élément, car $(2,10p) \prec (2, 10(p+1))$. Ses majorants sont les couples $(c,d)$ avec $c \geqslant 3$ : un couple $(2,d)$ est dépassé par $(2, 10p)$ dès que $10p > d$. $$\boxed{A \text{ n'est pas majorée ; } B \text{ n'a pas de plus grand élément, mais } \sup B = (3,0) \notin B.}$$ Le couple $(3,0)$ vient « juste après » tous les $(2,b)$ : entre les deux, il n'y a rien, bien qu'il y ait une infinité d'éléments au-dessous de $(3,0)$.

3. Soit $P$ une partie non vide de $\mathbb{N}^{2}$. L'ensemble des premières composantes de ses éléments est une partie non vide de $\mathbb{N}$, qui a un plus petit élément $a_{0}$. Parmi les éléments de $P$ de première composante $a_{0}$, on choisit celui dont la seconde composante $b_{0}$ est la plus petite. Pour tout $(a,b) \in P$, on a $a > a_{0}$, ou $a = a_{0}$ et $b \geqslant b_{0}$. $$\boxed{(a_{0}, b_{0}) \text{ est le plus petit élément de } P.}$$

4. S'il existait une suite strictement décroissante $(u_{n})$, l'ensemble de ses termes aurait un plus petit élément $u_{n_{0}}$, d'après la question 3. Or $u_{n_{0}+1} \prec u_{n_{0}}$ : c'est absurde. $$\boxed{\text{Il n'existe pas de suite strictement décroissante dans } (\mathbb{N}^{2}, \preccurlyeq).}$$ C'est le même argument qu'à l'exercice 35 de la feuille du chapitre 1 pour $\mathbb{N}$. Il est ici plus surprenant : au-dessous de $(1,0)$, il y a une infinité d'éléments, les $(0,b)$. Une suite peut descendre aussi longtemps qu'elle veut, mais toute descente finit par s'arrêter.