Exercice 38

1. Les trois propriétés se vérifient point par point, à partir de celles de l'ordre sur $\mathbb{R}$. L'ordre n'est pas total : les fonctions $x \mapsto x$ et $x \mapsto -x$ ne sont pas comparables, la première étant plus grande en $1$ et plus petite en $-1$. $$\boxed{\preccurlyeq \text{ est un ordre partiel.}}$$

2. Soit $0 < m < m'$. Pour $x > 0$, $\mathrm{e}^{mx} < \mathrm{e}^{m'x}$, et pour $x < 0$, $\mathrm{e}^{mx} > \mathrm{e}^{m'x}$ : les deux fonctions ne sont pas comparables. La fonction nulle minore $U$. Un majorant $g$ vérifierait $g(1) \geqslant \mathrm{e}^{m}$ pour tout $m > 0$, ce qui est impossible. $$\boxed{\text{Deux éléments distincts de } U \text{ ne sont pas comparables ; } U \text{ est minorée, non majorée.}}$$

3. Une fonction $g$ minore $U$ si et seulement si, pour tout $x$, $g(x)$ minore l'ensemble $\{\mathrm{e}^{mx} \mid m > 0\}$.

• Pour $x \geqslant 0$, cet ensemble est contenu dans $[1\,,+\infty[$, et il contient des valeurs aussi proches de $1$ que l'on veut, en prenant $m$ petit. Donc $g(x) \leqslant 1$.

• Pour $x < 0$, il est contenu dans $]0\,,+\infty[$, et contient des valeurs aussi proches de $0$ que l'on veut, en prenant $m$ grand. Donc $g(x) \leqslant 0$.

Notons $\varphi$ la fonction qui vaut $1$ sur $\mathbb{R}_{+}$ et $0$ sur $\mathbb{R}_{-}^{*}$. Les minorants de $U$ sont exactement les fonctions $g \preccurlyeq \varphi$, et $\varphi$ elle-même est un minorant. $$\boxed{\inf U = \varphi = \mathbf{1}_{\mathbb{R}_{+}}, \text{ qui n'appartient pas à } U.}$$

Les courbes de $U$, en bleu pétrole, se resserrent vers la droite $y = 1$ à droite de l'axe et vers l'axe des abscisses à gauche quand $m$ varie. Leur borne inférieure, en ocre, est discontinue en $0$, alors que toutes les fonctions de $U$ sont continues.