Exercice 39

1. On a $\Phi(E) \subset E$, donc $E \in \mathcal{F}$. Soit $X \in \mathcal{F}$. Comme $A \subset X$, la croissance donne $\Phi(A) \subset \Phi(X) \subset X$. La partie $\Phi(A)$ est donc contenue dans tous les éléments de $\mathcal{F}$, donc dans leur intersection. $$\boxed{\Phi(A) \subset A}$$

2. En appliquant $\Phi$ à l'inclusion $\Phi(A) \subset A$, on obtient $\Phi\big(\Phi(A)\big) \subset \Phi(A)$, ce qui signifie $\Phi(A) \in \mathcal{F}$. Donc $A \subset \Phi(A)$, puisque $A$ est l'intersection des éléments de $\mathcal{F}$. $$\boxed{\Phi(A) = A}$$

3. Si $\Phi(X) = X$, alors en particulier $\Phi(X) \subset X$, c'est-à-dire $X \in \mathcal{F}$, et donc $A \subset X$. $$\boxed{A \text{ est le plus petit point fixe de } \Phi.}$$ C'est le théorème de Knaster-Tarski pour l'ensemble ordonné $(\mathcal{P}(E), \subset)$. Il servira à l'exercice 48.

4. Ici $\Phi$ est bien croissante, et une partie $X$ vérifie $\Phi(X) \subset X$ si et seulement si $0 \in X$ et $X$ est stable par $n \mapsto n + 2$. La partie $2\mathbb{N}$ vérifie ces deux conditions. Réciproquement, toute partie $X$ qui les vérifie contient $0$, puis $2$, puis $4$, et par récurrence tous les entiers pairs. $$\boxed{A = 2\mathbb{N}}$$ On reconnaît une définition « par induction » : $A$ est la plus petite partie qui contient $0$ et qui est stable par $n \mapsto n + 2$.