Exercice 40

1. On examine les neuf points. Un point n'est pas au sud-ouest dès qu'un autre point de $B$ est à la fois à sa gauche, au sens large, et au-dessous, au sens large.

• $(2,6)$ est dominé par $(1,5)$, $(3,3)$ par $(2,3)$, $(5,4)$ par $(4,1)$, $(7,2)$ et $(7,6)$ par $(6,0)$ ;

• aucun point n'est à la fois au sud et à l'ouest de $(1,5)$, $(2,3)$, $(4,1)$ et $(6,0)$.

Les quatre points au sud-ouest, en ocre, dessinent un escalier descendant. Chaque autre point de $B$ se trouve dans la zone teintée, réunion des quarts de plan situés au nord-est des points de l'escalier.

2. Les trois propriétés se vérifient composante par composante. L'ordre est partiel, car $(0,1)$ et $(1,0)$ ne sont pas comparables. Un point de $B$ est au sud-ouest si aucun autre point de $B$ ne lui est inférieur. $$\boxed{\text{Les points au sud-ouest de } B \text{ sont les éléments minimaux de } (B, \leqslant).}$$

3. Soit $B$ une partie non vide. On choisit la plus petite première composante $a_{0}$ des points de $B$, puis la plus petite seconde composante $b_{0}$ des points de $B$ d'abscisse $a_{0}$. Si $(a',b') \in B$ vérifie $a' \leqslant a_{0}$ et $b' \leqslant b_{0}$, alors $a' = a_{0}$ par minimalité de $a_{0}$, puis $b' = b_{0}$ par minimalité de $b_{0}$. $$\boxed{(a_{0}, b_{0}) \text{ est au sud-ouest de } B.}$$ On a pris le plus petit élément de $B$ pour l'ordre lexicographique de l'exercice 37.

4. Deux points distincts au sud-ouest ne sont pas comparables. Ils n'ont donc pas la même abscisse, et si $(a,b)$ et $(a',b')$ sont au sud-ouest avec $a < a'$, alors $b > b'$, sinon on aurait $(a,b) \leqslant (a',b')$. Rangeons les points au sud-ouest par abscisses croissantes : leurs ordonnées forment une suite strictement décroissante d'entiers naturels. Elle a au plus $b_{0} + 1$ termes, où $b_{0}$ est l'ordonnée du premier point. $$\boxed{\text{Toute partie non vide de } \mathbb{N}^{2} \text{ a un nombre fini, non nul, de points au sud-ouest.}}$$ C'est le lemme de Dickson en dimension $2$ : un ensemble ordonné peut être partiel et pourtant n'avoir, dans chaque partie, qu'un nombre fini d'éléments minimaux.