ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 2 — Applications et relations binaires · Exercices de synthèse

Exercice 41

Vrai ou fauxDémonstration

Vrai ou faux. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse par une démonstration ou un contre-exemple.

1. Si $f : E \to F$ et $g : F \to G$ sont telles que $g \circ f$ est injective, alors $g$ est injective.

2. Toute application strictement croissante de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$ vérifie $f(n) \geqslant n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

3. Pour toute application $f : E \to F$ et toutes parties $A$ , $B$ de $F$ : $f^{-1}(B \setminus A) = f^{-1}(B) \setminus f^{-1}(A)$ .

4. Si $f : E \to E$ est injective et vérifie $f \circ f = f$ , alors $f = \mathrm{id}_{E}$ .

5. L'application $\mathcal{P}(E) \to \mathcal{P}(E)$ , $A \mapsto E \setminus A$ , est bijective.

6. Si deux applications $f$ , $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ vérifient $f \circ g = \mathrm{id}_{\mathbb{R}}$ , alors $f$ et $g$ sont bijectives.

7. Sur $\mathbb{R}$ , la relation $x \,\mathcal{R}\, y \iff |x - y| \leqslant 1$ est une relation d'équivalence.

8. Toute partie finie non vide d'un ensemble totalement ordonné possède un plus grand élément.

9. Dans $(\mathbb{N}, \mid)$ , toute partie non vide possède un plus petit élément.

10. Si $f : E \to F$ est surjective, alors l'application $\mathcal{P}(F) \to \mathcal{P}(E)$ , $B \mapsto f^{-1}(B)$ , est injective.

Corrigé

1. Fausse D'après la proposition 6 du cours, c'est $f$ qui est alors injective, pas nécessairement $g$ . Avec $f : \{0\} \to \{0,1\}$ , $0 \mapsto 0$ , et $g : \{0,1\} \to \{0\}$ , l'application $g \circ f$ est injective, puisque son ensemble de départ est un singleton, mais $g$ ne l'est pas.

2. Vraie Par récurrence : $f(0) \geqslant 0$ , et si $f(n) \geqslant n$ , alors $f(n+1) > f(n) \geqslant n$ , donc $f(n+1) \geqslant n + 1$ , puisque ce sont des entiers.

3. Vraie C'est la question 2 de l'exercice 8 : $x \in f^{-1}(B \setminus A)$ si et seulement si $f(x) \in B$ et $f(x) \notin A$ .

4. Vraie C'est la question 2 de l'exercice 18 : l'égalité $f(f(x)) = f(x)$ et l'injectivité donnent $f(x) = x$ .

5. Vraie Cette application $c$ vérifie $c \circ c = \mathrm{id}_{\mathcal{P}(E)}$ , puisque $E \setminus (E \setminus A) = A$ : c'est une involution, donc une bijection.

6. Fausse L'égalité $f \circ g = \mathrm{id}_{\mathbb{R}}$ entraîne seulement que $g$ est injective et $f$ surjective. Prenons $g = \exp$ , et $f(x) = \ln x$ pour $x > 0$ , $f(x) = 0$ sinon : on a bien $f \circ g = \mathrm{id}_{\mathbb{R}}$ , mais $g$ n'est pas surjective et $f$ n'est pas injective.

7. Fausse La relation est réflexive et symétrique, mais pas transitive : $0 \,\mathcal{R}\, 1$ et $1 \,\mathcal{R}\, 2$ , alors que $|0 - 2| = 2 > 1$ .

8. Vraie Par récurrence sur le nombre $n$ d'éléments. Un singleton a un plus grand élément. Si toute partie à $n$ éléments en a un, soit $A$ à $n + 1$ éléments, $a \in A$ , et $M$ le plus grand élément de $A \setminus \{a\}$ . Comme l'ordre est total, $a$ et $M$ sont comparables, et le plus grand des deux est le plus grand élément de $A$ .

9. Fausse La partie $\{2,3\}$ n'a pas de plus petit élément, puisque ni $2$ ne divise $3$ , ni $3$ ne divise $2$ .

10. Vraie C'est la question 2 de l'exercice 22.

$\boxed{\text{Vraies : 2, 3, 4, 5, 8, 10. \quad Fausses : 1, 6, 7, 9.}}$ Piège : pour l'affirmation 8, la totalité de l'ordre est indispensable. Dans $(\mathbb{N}^{*}, \mid)$ , la partie finie $\{2,3\}$ n'a pas non plus de plus grand élément.

Énoncé PDF, p. 11 Corrigé PDF, p. 24 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Images directes et réciproques Composition des applications Injections, surjections, bijections Ensembles finis et principe des tiroirs Équipotence et comparaison des ensembles Relations d'équivalence et partitions Ordres larges, ordres stricts Majorants, plus grand élément, borne supérieure

Thèmes

images directes et réciproques, composition, injectivité, surjectivité, bijections, ensembles finis, équipotence, relations d'équivalence

Notions

image directe, image réciproque, injection, surjection, bijection, ensemble fini, relation d'équivalence, relation d'ordre, majorant, borne supérieure