Exercice 5

1. La fonction sinus prend toutes les valeurs de $[-1\,,1]$ sur tout intervalle de longueur $2\pi$, et n'en prend pas d'autre. Sur $[0\,,\frac{\pi}{2}]$, elle croît de $0$ à $1$ ; sur $[-\pi\,,\frac{\pi}{2}]$, elle atteint $-1$ en $-\frac{\pi}{2}$ et $1$ en $\frac{\pi}{2}$. $$\boxed{\sin(\mathbb{R}) = \sin(\mathbb{R}_{+}) = \sin([0\,,2\pi]) = \sin\Big(\Big[-\pi\,,\frac{\pi}{2}\Big]\Big) = [-1\,,1] \qquad \sin\Big(\Big[0\,,\frac{\pi}{2}\Big]\Big) = [0\,,1]}$$ Piège : sur $[-\pi\,,\frac{\pi}{2}]$, les images des bornes sont $0$ et $1$ ; s'en contenter donnerait $[0\,,1]$, ce qui est faux, car la fonction n'est pas monotone sur cet intervalle.

2. On résout les inéquations correspondantes, en se servant du cercle trigonométrique : $$\boxed{\sin^{-1}([-1\,,1]) = \mathbb{R} \qquad \sin^{-1}([0\,,1]) = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} [2k\pi\,,(2k+1)\pi] \qquad \sin^{-1}([3\,,4]) = \varnothing}$$

3. L'écriture $\sin^{-1}(1)$ désignerait l'image de $1$ par une application réciproque de la fonction sinus, qui n'existe pas : la fonction sinus n'est pas bijective de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. En revanche, l'image réciproque d'une partie est définie pour toute application. $$\boxed{\sin^{-1}(\{1\}) \text{ est une partie de } \mathbb{R} \text{, infinie ; } \sin^{-1}(1) \text{ n'a pas de sens.}}$$