Exercice 6

On met d'abord $f$ sous forme canonique : $f(x) = 2(x - 1)^{2} - 1$. La fonction $f$ est décroissante sur $]-\infty\,,1]$, croissante sur $[1\,,+\infty[$, et son minimum vaut $f(1) = -1$.

1. On calcule les images en tenant compte des variations :

• sur $[0\,,1]$, $f$ décroît de $f(0) = 1$ à $f(1) = -1$ ;

• sur $\mathbb{R}_{-}$, $f$ décroît de $+\infty$ à $f(0) = 1$, qu'elle atteint ;

• sur $\mathbb{R}_{+}$, elle atteint son minimum $-1$ en $1$ et tend vers $+\infty$ ;

• sur $[-2\,,2]$, le minimum est $-1$ et le maximum $f(-2) = 17$, car $f(2) = 1$.

2. On résout :

• $f(x) = 1 \iff (x - 1)^{2} = 1 \iff x \in \{0\,,2\}$ ;

• $f(x) = -1 \iff x = 1$ ;

• $0 \leqslant f(x) \leqslant 1 \iff \frac{1}{2} \leqslant (x - 1)^{2} \leqslant 1 \iff \frac{\sqrt{2}}{2} \leqslant |x - 1| \leqslant 1$ ;

• $-2 \leqslant f(x) \leqslant 1 \iff (x - 1)^{2} \leqslant 1$, la première inégalité étant toujours vraie.

3. L'application $\Phi$ n'est pas injective, puisque $\Phi(\{0\}) = \Phi(\{2\}) = \{1\}$. Elle n'est pas surjective, puisque toute image $f(A)$ est contenue dans $f(\mathbb{R}) = [-1\,,+\infty[$ : la partie $\{-5\}$ n'est pas atteinte. Inversement, toute partie $B$ de $[-1\,,+\infty[$ est atteinte : comme $f$ prend toutes les valeurs de $[-1\,,+\infty[$, on a $f\big(f^{-1}(B)\big) = B$. $$\boxed{\Phi \text{ n'est ni injective ni surjective, et son image est } \mathcal{P}\big([-1\,,+\infty[\big).}$$ On retrouve, au niveau des parties, les défauts de $f$ elle-même : l'exercice 22 montrera que c'est un fait général.