Exercice 7

1. On a $f(2) = f\big(\frac{1}{2}\big) = \frac{5}{2}$ : l'application $f$ n'est pas injective. Pour la surjectivité, soit $w \in \mathbb{C}$. Pour $z \neq 0$, $$f(z) = w \iff z^{2} - wz + 1 = 0.$$ Cette équation du second degré possède au moins une solution dans $\mathbb{C}$, à condition de savoir que tout nombre complexe possède une racine carrée, ce que l'on admet ici et que le chapitre consacré aux nombres complexes établira. Ses solutions sont non nulles, car leur produit vaut $1$. $$\boxed{f \text{ n'est pas injective ; elle est surjective.}}$$

2. Pour $x > 0$, l'inégalité $x + \frac{1}{x} \geqslant 2$ équivaut à $(x - 1)^{2} \geqslant 0$. Réciproquement, pour $y \geqslant 2$, l'équation $x^{2} - yx + 1 = 0$ a un discriminant $y^{2} - 4 \geqslant 0$ et des racines réelles positives. Par imparité, on obtient les valeurs $\leqslant -2$ sur $\mathbb{R}_{-}^{*}$. Pour $z = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} \in \mathbb{U}$, on a $\frac{1}{z} = \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}$ et $f(z) = 2\cos\theta$, qui décrit $[-2\,,2]$. $$\boxed{f(\mathbb{R}^{*}) = \,]-\infty\,,-2] \cup [2\,,+\infty[ \qquad f(\mathbb{U}) = [-2\,,2]}$$

3. Écrivons $z = r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ avec $r > 0$. Alors $\frac{1}{z} = \frac{1}{r}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}$ et $$f(z) = \Big(r + \frac{1}{r}\Big)\cos\theta + \mathrm{i}\Big(r - \frac{1}{r}\Big)\sin\theta.$$ Ainsi $f(z)$ est réel si et seulement si $r = 1$ ou $\sin\theta = 0$, c'est-à-dire si $z \in \mathbb{U}$ ou $z \in \mathbb{R}^{*}$. $$\boxed{f^{-1}(\mathbb{R}) = \mathbb{R}^{*} \cup \mathbb{U}}$$

La partie $f^{-1}(\mathbb{R})$ est la réunion de l'axe réel privé de l'origine, en bleu ardoise, et du cercle unité, en bleu pétrole : ce sont les seuls points où la partie imaginaire de $z + \frac{1}{z}$ s'annule.