Exercice 8

1. Si $A \subset A'$ et $y \in f(A)$, alors $y = f(x)$ avec $x \in A \subset A'$, donc $y \in f(A')$. Si $B \subset B'$ et $x \in f^{-1}(B)$, alors $f(x) \in B \subset B'$, donc $x \in f^{-1}(B')$. $$\boxed{A \subset A' \Rightarrow f(A) \subset f(A') \qquad B \subset B' \Rightarrow f^{-1}(B) \subset f^{-1}(B')}$$ Les réciproques sont fausses. Pour la première, prenons $f : \{0,1\} \to \{0\}$, $A = \{0\}$ et $A' = \{1\}$ : $f(A) = f(A') = \{0\}$, mais $A \not\subset A'$. Pour la seconde, prenons $f : \{0\} \to \{0,1\}$, $0 \mapsto 0$, $B = \{1\}$ et $B' = \varnothing$ : $f^{-1}(B) = \varnothing = f^{-1}(B')$, mais $B \not\subset B'$. $$\boxed{\text{Les deux réciproques sont fausses.}}$$ Elles deviennent vraies si $f$ est injective pour la première, surjective pour la seconde, d'après la proposition 5 du cours.

2. Soit $y \in f(A) \setminus f(A')$ : $y = f(x)$ avec $x \in A$, et $x \notin A'$, sinon $y$ appartiendrait à $f(A')$. Donc $y \in f(A \setminus A')$. Avec $f : x \mapsto x^{2}$ sur $\mathbb{R}$, $A = \mathbb{R}$ et $A' = \{-1\}$, on trouve $f(A) \setminus f(A') = \mathbb{R}_{+} \setminus \{1\}$, alors que $f(A \setminus A') = \mathbb{R}_{+}$, puisque $1 = f(1)$. $$\boxed{f(A) \setminus f(A') \subset f(A \setminus A'), \text{ inclusion stricte en général}}$$ Pour l'image réciproque, $x \in f^{-1}(B \setminus B') \iff \big(f(x) \in B \ \mathrm{et}\ f(x) \notin B'\big) \iff x \in f^{-1}(B) \setminus f^{-1}(B')$. $$\boxed{f^{-1}(B \setminus B') = f^{-1}(B) \setminus f^{-1}(B')}$$

3. On procède par double inclusion.

• Si $y = f(x)$ avec $x \in A \cap f^{-1}(B)$, alors $y \in f(A)$ et $y = f(x) \in B$.

• Si $y \in f(A) \cap B$, il s'écrit $y = f(a)$ avec $a \in A$ ; comme $f(a) = y \in B$, on a $a \in f^{-1}(B)$, donc $y \in f\big(A \cap f^{-1}(B)\big)$.

$$\boxed{f\big(A \cap f^{-1}(B)\big) = f(A) \cap B}$$ Pour $A = E$, on retrouve $f\big(f^{-1}(B)\big) = f(E) \cap B$, qui précise la proposition 2 (iii) du cours : l'inclusion $f(f^{-1}(B)) \subset B$ est une égalité exactement lorsque $B \subset f(E)$.