Exercice 9

1. La partie $A$ est stable si et seulement si $f(A) \subset A$, ce qui équivaut à $A \subset f^{-1}(A)$ : $$\boxed{A \text{ stable} \iff A \subset f^{-1}(A) \iff \forall x \in A,\ f(x) \in A}$$

2. Pour $f : n \mapsto n + 1$, la partie vide est stable. Soit $A$ une partie stable non vide et $m$ son plus petit élément. Par récurrence, $m + k \in A$ pour tout $k \in \mathbb{N}$, donc $A$ contient $\{n \in \mathbb{N} \mid n \geqslant m\}$, et elle ne contient aucun entier plus petit que $m$. Réciproquement, ces parties sont stables. $$\boxed{\text{Parties stables par } n \mapsto n + 1 : \ \varnothing \text{ et les } \{n \in \mathbb{N} \mid n \geqslant m\}, \ m \in \mathbb{N}.}$$ Pour $n \mapsto n + 2$, une partie $A$ est stable si et seulement si ses traces sur les entiers pairs et sur les entiers impairs le sont, car $n$ et $n + 2$ ont même parité. Le même raisonnement s'applique à chacune. $$\boxed{A = A_{0} \cup A_{1}, \text{ où } A_{0} \text{ est vide ou formé des pairs } \geqslant a, \text{ et } A_{1} \text{ vide ou formé des impairs } \geqslant b.}$$

3. Soit $(A_{i})_{i \in I}$ une famille de parties stables. D'après la proposition 2 du cours, étendue aux familles, $$f\Big(\bigcup_{i} A_{i}\Big) = \bigcup_{i} f(A_{i}) \subset \bigcup_{i} A_{i} \qquad\text{et}\qquad f\Big(\bigcap_{i} A_{i}\Big) \subset \bigcap_{i} f(A_{i}) \subset \bigcap_{i} A_{i}.$$

4. Non : la partie $\{n \mid n \geqslant 1\}$ est stable par $n \mapsto n + 1$, mais son complémentaire $\{0\}$ ne l'est pas, puisque $0 \mapsto 1$. $$\boxed{\text{Le complémentaire d'une partie stable n'est pas stable en général.}}$$ Il l'est cependant lorsque $f$ est bijective et que $A$ est stable par $f$ et par $f^{-1}$.