Exercice 10

1. On compose dans les deux ordres : $$\boxed{(f \circ g)(x) = 3(x^{2} - 1) + 1 = 3x^{2} - 2 \qquad (g \circ f)(x) = (3x + 1)^{2} - 1 = 9x^{2} + 6x}$$

2. On repère l'opération faite en dernier :

• $h_{1} = r \circ a$, avec $a : [\frac{1}{3}\,,+\infty[ \ \to \mathbb{R}_{+}$, $x \mapsto 3x - 1$ et $r : \mathbb{R}_{+} \to \mathbb{R}$, $t \mapsto \sqrt{t}$ ;

• $h_{2} = \sin \circ \tau$, avec $\tau : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $x \mapsto x + \frac{\pi}{2}$ ; on reconnaît d'ailleurs $h_{2} = \cos$ ;

• $h_{3} = i \circ \tau'$, avec $\tau' : \mathbb{R} \setminus \{-7\} \to \mathbb{R}^{*}$, $x \mapsto x + 7$ et $i : \mathbb{R}^{*} \to \mathbb{R}$, $t \mapsto \frac{1}{t}$ ;

• $h_{4} = \exp \circ\, q$, avec $q : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $x \mapsto -x^{2}$.

Pour $h_{1}$ et $h_{3}$, le choix des ensembles n'est pas libre : il faut que l'image de la première application tombe dans l'ensemble de départ de la seconde.

3. Pour $x \geqslant 0$ : $$(u \circ u)(x) = \frac{\frac{x}{x+1}}{\frac{x}{x+1} + 1} = \frac{x}{2x + 1}, \qquad (u \circ u \circ u)(x) = \frac{x}{3x + 1}.$$ Montrons par récurrence que $u^{n}(x) = \frac{x}{nx + 1}$ pour tout $n \geqslant 1$. C'est vrai pour $n = 1$, et si c'est vrai au rang $n$, alors $$u^{n+1}(x) = u\big(u^{n}(x)\big) = \frac{\frac{x}{nx+1}}{\frac{x}{nx+1} + 1} = \frac{x}{x + nx + 1} = \frac{x}{(n+1)x + 1}.$$

$$\boxed{u^{n}(x) = \frac{x}{nx + 1}}$$ La formule reste vraie pour $n = 0$, avec $u^{0} = \mathrm{id}$.

4. Si l'on avait $v(x) = 1$, alors $x + 1 = x - 1$, ce qui est absurde. Donc $v$ est à valeurs dans $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ et $v \circ v$ a un sens. Pour $x \neq 1$, $$(v \circ v)(x) = \frac{\frac{x+1}{x-1} + 1}{\frac{x+1}{x-1} - 1} = \frac{(x + 1) + (x - 1)}{(x + 1) - (x - 1)} = \frac{2x}{2} = x.$$

$$\boxed{v \circ v = \mathrm{id}_{\mathbb{R} \setminus \{1\}}}$$ L'application $v$, vue de $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ dans lui-même, est donc une involution : elle est bijective et égale à sa réciproque, comme le montrera l'exercice 17.