Exercice 11

1. Soit $f(x) = ax + b$. Pour tout réel $x$, $$(f \circ g)(x) = 2ax + a + b \qquad\text{et}\qquad (g \circ f)(x) = 2ax + 2b + 1.$$ Ces deux fonctions affines sont égales si et seulement si $a + b = 2b + 1$, c'est-à-dire $b = a - 1$. $$\boxed{f(x) = ax + a - 1 = a(x + 1) - 1, \ a \in \mathbb{R}}$$ Ce sont exactement les fonctions affines qui fixent $-1$, l'unique point fixe de $g$ ; ce n'est pas un hasard, puisque si $f$ commute avec $g$, alors $g\big(f(-1)\big) = f\big(g(-1)\big) = f(-1)$, et $f(-1)$ est un point fixe de $g$.

2. Si $f(x + a) = f(x) + a$ pour tous réels $x$ et $a$, alors, avec $x = 0$, on obtient $f(a) = f(0) + a$ pour tout $a$. Réciproquement, les fonctions $x \mapsto x + c$ conviennent. $$\boxed{f(x) = x + c, \ c \in \mathbb{R}}$$

3. Si $f$ commute avec toutes les applications, elle commute en particulier avec chaque application constante $\gamma_{c} : x \mapsto c$. Or $(f \circ \gamma_{c})(x) = f(c)$ et $(\gamma_{c} \circ f)(x) = c$ : donc $f(c) = c$ pour tout réel $c$. Réciproquement, l'identité commute avec toute application. $$\boxed{f = \mathrm{id}_{\mathbb{R}}}$$ À retenir : pour exploiter une hypothèse universelle portant sur des applications, on la teste sur des applications très simples, ici les constantes. De même, pour comparer deux parties, on les teste souvent sur des singletons.