Exercice 12

On traite les huit applications l'une après l'autre.

• (a) Si $n + 1 = m + 1$, alors $n = m$ : l'application est injective. L'entier $0$ n'a pas d'antécédent dans $\mathbb{N}$. $$\boxed{\text{(a) est injective, non surjective.}}$$

• (b) Tout entier $m$ possède l'unique antécédent $m - 1$ dans $\mathbb{Z}$. $$\boxed{\text{(b) est bijective, de réciproque } m \mapsto m - 1.}$$

• (c) L'application, notée $c$, envoie un entier pair $n$ sur l'entier impair $n + 1$, et un entier impair $n$ sur l'entier pair $n - 1$. On a donc $c\big(c(n)\big) = n$ pour tout $n$ : $c \circ c = \mathrm{id}_{\mathbb{Z}}$. $$\boxed{\text{(c) est bijective, et égale à sa réciproque.}}$$

• (d) Pour $(u,v) \in \mathbb{R}^{2}$, on résout le système $x + y = u$, $x - y = v$, qui a l'unique solution $x = \frac{u+v}{2}$, $y = \frac{u-v}{2}$. $$\boxed{\text{(d) est bijective, de réciproque } (u,v) \mapsto \Big(\frac{u+v}{2}, \frac{u-v}{2}\Big).}$$

• (e) Tout réel $c$ est l'image de la fonction constante égale à $c$. Les fonctions $x \mapsto 0$ et $x \mapsto x$ ont la même image $0$. $$\boxed{\text{(e) est surjective, non injective.}}$$

• (f) Toute partie $Y$ de $\mathbb{R}_{+}$ vérifie $Y \cap \mathbb{R}_{+} = Y$ : c'est sa propre antécédente. Les parties $\varnothing$ et $\{-1\}$ ont la même image $\varnothing$. $$\boxed{\text{(f) est surjective, non injective.}}$$

• (g) Tout entier $m$ est l'image de $2m$, et l'on a $g(0) = g(1) = 0$. $$\boxed{\text{(g) est surjective, non injective.}}$$

• (h) Si $2n = 2m$, alors $n = m$, et l'entier $1$ n'a pas d'antécédent. $$\boxed{\text{(h) est injective, non surjective.}}$$

Pour les composées, $(g \circ h)(n) = \lfloor 2n/2 \rfloor = n$, tandis que $(h \circ g)(n) = 2\lfloor n/2 \rfloor$ vaut $n$ si $n$ est pair et $n - 1$ s'il est impair. $$\boxed{g \circ h = \mathrm{id}_{\mathbb{N}} \qquad (h \circ g)(n) = \begin{cases} n & \text{si } n \text{ est pair} \\ n - 1 & \text{si } n \text{ est impair} \end{cases}}$$ Piège : l'égalité $g \circ h = \mathrm{id}_{\mathbb{N}}$ ne fait pas de $g$ et $h$ deux bijections réciproques. Il faut aussi $h \circ g = \mathrm{id}_{\mathbb{N}}$, ce qui est faux ici. L'exercice 19 montrera que cette situation caractérise exactement les injections ($h$) et les surjections ($g$).