Exercice 4

Supposons que $f$ ne soit pas constante, et montrons que $g$ l'est. Il existe $a$, $b$ dans $E$ tels que $f(a) \neq f(b)$ ; l'hypothèse appliquée au couple $(a,b)$ donne $g(a) = g(b)$. Soit maintenant $x \in E$ ; on distingue deux cas.

• Si $f(x) \neq f(a)$, l'hypothèse appliquée à $(x,a)$ donne $g(x) = g(a)$.

• Si $f(x) = f(a)$, alors $f(x) \neq f(b)$, et l'hypothèse appliquée à $(x,b)$ donne $g(x) = g(b) = g(a)$.

Dans les deux cas $g(x) = g(a)$. $$\boxed{\text{Si } f \text{ n'est pas constante, alors } g \text{ est constante.}}$$ Piège : l'hypothèse ne dit pas que, pour chaque couple, c'est toujours la même des deux égalités qui est vraie. On ne peut donc pas conclure en une ligne : il faut un point d'appui, le couple $(a,b)$, et une disjonction des cas. La conclusion « $f$ ou $g$ est constante » se démontre en établissant « si $f$ ne l'est pas, alors $g$ l'est », comme au chapitre 1.