Exercice 3

1. Pour $x \in E$, chacun des deux nombres $\mathbf{1}_{A}(x)$ et $\mathbf{1}_{B}(x)$ vaut $0$ ou $1$. On examine les quatre cas :

• $\min\big(\mathbf{1}_{A}(x), \mathbf{1}_{B}(x)\big) = 1$ exactement lorsque les deux valent $1$, c'est-à-dire lorsque $x \in A \cap B$ ;

• $\max\big(\mathbf{1}_{A}(x), \mathbf{1}_{B}(x)\big) = 1$ exactement lorsque l'un au moins vaut $1$, c'est-à-dire lorsque $x \in A \cup B$ ;

• $\big(\mathbf{1}_{A}(x) - \mathbf{1}_{B}(x)\big)^{2}$ vaut $1$ lorsque les deux valeurs diffèrent, $0$ sinon : c'est le cas où $x$ appartient à exactement une des deux parties.

2. La fonction $\mathbf{1}_{A} + \mathbf{1}_{B}$ vaut $2$ en tout point de $A \cap B$, et $0$ ou $1$ ailleurs. $$\boxed{\mathbf{1}_{A} + \mathbf{1}_{B} \text{ est une indicatrice} \iff A \cap B = \varnothing, \text{ et c'est alors } \mathbf{1}_{A \cup B}.}$$

3. D'après la question 1, $\mathbf{1}_{A \Delta B}(x)$ vaut $1$ si et seulement si $\mathbf{1}_{A}(x) + \mathbf{1}_{B}(x) = 1$ : c'est le reste de la division de $\mathbf{1}_{A}(x) + \mathbf{1}_{B}(x) \in \{0,1,2\}$ par $2$. On écrit donc $\mathbf{1}_{A \Delta B} \equiv \mathbf{1}_{A} + \mathbf{1}_{B} \ [2]$, la congruence ayant lieu en chaque point. Deux fonctions à valeurs dans $\{0,1\}$ congrues modulo $2$ en chaque point sont égales. Or $$\begin{aligned} \mathbf{1}_{(A \Delta B) \Delta C} &\equiv \mathbf{1}_{A \Delta B} + \mathbf{1}_{C} \equiv \mathbf{1}_{A} + \mathbf{1}_{B} + \mathbf{1}_{C} \ [2], \\ \mathbf{1}_{A \Delta (B \Delta C)} &\equiv \mathbf{1}_{A} + \mathbf{1}_{B \Delta C} \equiv \mathbf{1}_{A} + \mathbf{1}_{B} + \mathbf{1}_{C} \ [2]. \end{aligned}$$

$$\boxed{(A \,\Delta\, B) \,\Delta\, C = A \,\Delta\, (B \,\Delta\, C)}$$ De même, grâce à la compatibilité des congruences avec le produit (proposition 10 du cours), $$\mathbf{1}_{A \cap (B \Delta C)} = \mathbf{1}_{A}\,\mathbf{1}_{B \Delta C} \equiv \mathbf{1}_{A}(\mathbf{1}_{B} + \mathbf{1}_{C}) = \mathbf{1}_{A \cap B} + \mathbf{1}_{A \cap C} \equiv \mathbf{1}_{(A \cap B) \Delta (A \cap C)} \ [2].$$

4. D'après le calcul précédent, $x \in A \,\Delta\, B \,\Delta\, C$ si et seulement si $\mathbf{1}_{A}(x) + \mathbf{1}_{B}(x) + \mathbf{1}_{C}(x)$ est impair. $$\boxed{A \,\Delta\, B \,\Delta\, C \text{ est l'ensemble des éléments qui appartiennent à exactement une ou aux trois parties.}}$$ À retenir : les indicatrices transforment le calcul sur les parties en calcul sur des nombres. Pour la différence symétrique, ce sont des calculs modulo $2$ : la différence symétrique est une « addition sans retenue », ce qui explique son associativité, si pénible à établir par des diagrammes de Venn.