Exercice 2

Deux applications sont égales si et seulement si elles ont le même ensemble de départ, le même ensemble d'arrivée et la même image en chaque point.

1. Mêmes ensembles, et $\sqrt{x^{2}} = |x|$ pour tout réel $x$, car $|x|$ est l'unique réel positif dont le carré vaut $x^{2}$. $$\boxed{f = g}$$ 2. Les ensembles d'arrivée diffèrent : $\mathbb{R}$ et $\mathbb{R}_{+}$. $$\boxed{f \neq g}$$ Ce n'est pas une subtilité : la seconde est surjective, la première ne l'est pas, puisque $-1$ n'a pas d'antécédent.

3. Mêmes ensembles, et pour $x \neq 0$ : $\ln(x^{2}) = \ln\big(|x|^{2}\big) = 2\ln|x|$. $$\boxed{f = g}$$ On notera que $x \mapsto 2\ln x$ ne serait même pas une application de $\mathbb{R}^{*}$ dans $\mathbb{R}$ : c'est la valeur absolue qui rend l'égalité possible.

4. Pour $x \geqslant 0$, on a bien $\big(\sqrt{x}\big)^{2} = x$, mais les ensembles de départ diffèrent : $\mathbb{R}_{+}$ et $\mathbb{R}$. $$\boxed{f \neq g}$$ 5. Mêmes ensembles, et pour tout entier $n$, $\cos(n\pi) = (-1)^{n}$. $$\boxed{f = g}$$