Exercice 1

1. D'après la condition $(\ast)$ du cours, une partie $\Gamma$ du plan est le graphe d'une application de $E$ dans $\mathbb{R}$ lorsque chaque droite verticale d'abscisse $x \in E$ la rencontre en exactement un point, et que les droites d'abscisse $x \notin E$ ne la rencontrent pas.

• (a) Pour tout réel $x$, la courbe contient le seul point $(x, x^{3} - x)$ d'abscisse $x$. $$\boxed{\text{C'est le graphe de } x \mapsto x^{3} - x, \text{ avec } E = \mathbb{R}.}$$

• (b) Le seul candidat est $E = [-1\,,1]$, ensemble des abscisses des points du cercle. Mais la droite d'abscisse $0$ coupe le cercle en $(0,1)$ et $(0,-1)$. $$\boxed{\text{Ce n'est le graphe d'aucune application : l'unicité est en défaut.}}$$

• (c) Pour $x \in [-1\,,1]$, la droite d'abscisse $x$ rencontre le demi-cercle supérieur au seul point $\big(x, \sqrt{1 - x^{2}}\big)$, et pour $|x| > 1$ elle ne le rencontre pas. $$\boxed{\text{C'est le graphe de } x \mapsto \sqrt{1 - x^{2}}, \text{ avec } E = [-1\,,1].}$$

• (d) Pour $x > -1$, les deux points $\big(x, \pm\sqrt{x + 1}\big)$ appartiennent à la courbe. $$\boxed{\text{Ce n'est le graphe d'aucune application : l'unicité est en défaut.}}$$

Piège : changer l'ensemble $E$ ne permet pas de « réparer » le cercle. L'ensemble $E$ est imposé par la courbe : c'est l'ensemble des premières composantes de ses points. On ne peut donc pas retirer de points à la courbe en restreignant $E$ ; seule une partie plus petite du plan, comme le demi-cercle (c), peut être un graphe.

2. Un couple $(y,x)$ appartient à la partie échangée $\Gamma'$ si et seulement si $(x,y) \in \Gamma$, c'est-à-dire $x = y^{2} - 1$. En renommant les variables, $\Gamma' = \{(s,t) \in \mathbb{R}^{2} \mid t = s^{2} - 1\}$, et chaque réel $s$ fournit exactement un point de $\Gamma'$. $$\boxed{\Gamma' \text{ est le graphe de l'application } \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ s \mapsto s^{2} - 1.}$$ Géométriquement, l'échange des coordonnées est la symétrie par rapport à la droite $y = x$, celle qui relie les graphes d'une bijection et de sa réciproque à la section 2.5.3 du cours.

3. D'après le lemme 6 du cours, l'ensemble $E \times F$ a $3 \times 2 = 6$ éléments, donc $2^{6} = 64$ parties. Une partie est un graphe si chacun des trois éléments de $E$ y figure dans exactement un couple : il suffit de choisir l'image de $1$, de $2$ et de $3$, avec deux choix à chaque fois. $$\boxed{64 \text{ parties, dont } 2^{3} = 8 \text{ graphes}}$$ En général, $E \times F$ a $pn$ éléments, donc $2^{pn}$ parties, parmi lesquelles $n^{p}$ graphes, comme le démontrera l'exercice 25. Cette formule justifie la notation $F^{E}$ pour l'ensemble des applications de $E$ dans $F$ : il a $(\mathrm{card}\,F)^{\mathrm{card}\,E}$ éléments.