Exercice 32

1. La réflexivité et la symétrie sont immédiates. Pour la transitivité, supposons $pq' = p'q$ et $p'q'' = p''q'$. On multiplie la première égalité par $q''$ : $$q'\,(pq'') = (p'q'')\,q = p''q'q = q'\,(p''q).$$ Comme $q' \neq 0$, on simplifie : $pq'' = p''q$. Enfin, $(p,q) \,\mathcal{R}\, (1,5)$ équivaut à $5p = q$. $$\boxed{\overline{(1,5)} = \{(k, 5k) \mid k \in \mathbb{N}^{*}\}}$$ Piège : c'est ici que sert la condition $q \neq 0$. Avec $q' = 0$, on aurait $(1,1) \,\mathcal{R}\, (0,0)$ et $(0,0) \,\mathcal{R}\, (2,1)$, sans avoir $(1,1) \,\mathcal{R}\, (2,1)$.

2. Existence. Soit $(p,q)$ et $d = \mathrm{pgcd}(p,q)$, non nul puisque $q \geqslant 1$. Le couple $\big(\frac{p}{d}, \frac{q}{d}\big)$ appartient à $E$, est formé d'entiers premiers entre eux, et vérifie $p \cdot \frac{q}{d} = \frac{p}{d} \cdot q$.

Unicité. Soit $(p,q)$ et $(p',q')$ équivalents, chacun formé d'entiers premiers entre eux. L'entier $q$ divise $p'q = pq'$ et est premier avec $p$ : d'après le lemme de Gauss, il divise $q'$. De même $q'$ divise $q$, et comme ils sont positifs, $q = q'$, puis $p = p'$. $$\boxed{\text{Chaque classe contient un unique représentant irréductible.}}$$

3. La classe de $(p,q)$ rassemble toutes les écritures $\frac{kp}{kq}$ d'une même fraction : $(p,q) \,\mathcal{R}\, (p',q')$ traduit exactement l'égalité $\frac{p}{q} = \frac{p'}{q'}$, mais sans utiliser la division. On peut alors définir $\mathbb{Q}$ comme l'ensemble des classes, et $\frac{p}{q}$ comme la classe de $(p,q)$ ; la question 2 justifie l'écriture irréductible. C'est la construction de $\mathbb{Q}$ à partir de $\mathbb{Z}$, sur le modèle de la congruence de Gauss qui fabrique les classes modulo $n$.