Exercice 33

1. La relation est de la forme $\phi(X) = \phi(Y)$, avec $\phi(X) = X \cap A$ : c'est une équivalence, comme à l'exercice 30. La classe de $X$ contient $X \cap A$, qui est incluse dans $A$, puisque $(X \cap A) \cap A = X \cap A$. Si deux parties $B$ et $B'$ incluses dans $A$ sont équivalentes, alors $B = B \cap A = B' \cap A = B'$.

Les classes sont donc en bijection avec les parties de $A$. La classe d'une partie $B \subset A$ est formée des parties $B \cup C$, où $C$ décrit les parties de $E \setminus A$. $$\boxed{2^{k} \text{ classes, de } 2^{n-k} \text{ éléments chacune}}$$ On vérifie que $2^{k} \times 2^{n-k} = 2^{n}$ : c'est le lemme des bergers, appliqué à l'application $X \mapsto X \cap A$ de $\mathcal{P}(E)$ dans $\mathcal{P}(A)$, dont les fibres sont les classes. On retrouve aussi la bijection $\theta$ de l'exercice 23, avec $X = A$ et $Y = E \setminus A$.

2. On note ici $E \setminus Y$ le complémentaire, pour éviter toute confusion avec la notation des classes. La relation est réflexive. Elle est symétrique, car $X = E \setminus Y$ équivaut à $Y = E \setminus X$. Pour la transitivité, supposons $X \sim Y$ et $Y \sim Z$ : chacune des deux relations est une égalité ou un passage au complémentaire, et deux passages au complémentaire se compensent, donc $X = Z$ ou $X = E \setminus Z$. $$\boxed{\text{La classe de } X \text{ est } \{X, E \setminus X\}.}$$ Comme $E$ n'est pas vide, $X \neq E \setminus X$ : chaque classe a exactement deux éléments. L'application qui associe à chaque partie sa classe a pour fibres les classes elles-mêmes ; son ensemble d'arrivée, l'ensemble des classes, est une partie de l'ensemble fini $\mathcal{P}\big(\mathcal{P}(E)\big)$, donc il est fini. Le lemme des bergers donne $2^{n} = 2 \times (\text{nombre de classes})$. $$\boxed{2^{n} / 2 = 2^{n-1} \text{ classes}}$$