Exercice 31

1. (a) On retranche $x$, ce qui est licite, puis l'on divise l'égalité $4x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ par $4$, en divisant aussi le module : $$5x \equiv x + \frac{\pi}{2} \ [2\pi] \iff 4x \equiv \frac{\pi}{2} \ [2\pi] \iff x \equiv \frac{\pi}{8} \ \Big[\frac{\pi}{2}\Big].$$

$$\boxed{\text{Solutions dans } [0\,,2\pi[ : \ \frac{\pi}{8},\ \frac{5\pi}{8},\ \frac{9\pi}{8},\ \frac{13\pi}{8}}$$ (b) D'après le cours, $\cos a = \cos b$ si et seulement si $a \equiv b$ ou $a \equiv -b$ modulo $2\pi$. Donc $$\cos(3x) = \cos(x) \iff \big(2x \equiv 0 \ [2\pi] \ \mathrm{ou}\ 4x \equiv 0 \ [2\pi]\big) \iff \Big(x \equiv 0 \ [\pi] \ \mathrm{ou}\ x \equiv 0 \ \Big[\frac{\pi}{2}\Big]\Big).$$ Un multiple de $\pi$ est un multiple de $\frac{\pi}{2}$, donc la première condition est contenue dans la seconde. $$\boxed{\cos(3x) = \cos(x) \iff x \equiv 0 \ \Big[\frac{\pi}{2}\Big] \qquad \text{Solutions dans } [0\,,2\pi[ : \ 0,\ \frac{\pi}{2},\ \pi,\ \frac{3\pi}{2}}$$

2. On a $2x \equiv 2y \ [2\pi]$ si et seulement si $2(y - x) = 2k\pi$, soit $y - x = k\pi$, pour un entier $k$. $$\boxed{2x \equiv 2y \ [2\pi] \iff x \equiv y \ [\pi]}$$ On n'a pas $x \equiv y \ [2\pi]$ en général : $x = 0$ et $y = \pi$ en fournissent un contre-exemple. C'est le piège signalé dans le cours : diviser une congruence réelle oblige à diviser le module.

3. On cherche le reste de $3^{2026}$ modulo $100$. On calcule $$3^{10} = 59\,049 \equiv 49 \ [100] \qquad\text{puis}\qquad 3^{20} \equiv 49^{2} = 2401 \equiv 1 \ [100].$$ Comme $2026 = 20 \times 101 + 6$, la compatibilité avec le produit (proposition 10) donne $$3^{2026} = \big(3^{20}\big)^{101} \times 3^{6} \equiv 1 \times 729 \equiv 29 \ [100].$$

4. On a $3^{2n+1} = 3 \times 9^{n}$ et $2^{n+2} = 4 \times 2^{n}$. Comme $9 \equiv 2 \ [7]$, $$3^{2n+1} + 2^{n+2} \equiv 3 \times 2^{n} + 4 \times 2^{n} = 7 \times 2^{n} \equiv 0 \ [7].$$

$$\boxed{7 \text{ divise } 3^{2n+1} + 2^{n+2} \text{ pour tout } n \in \mathbb{N}.}$$ Le calcul évite une récurrence : c'est tout l'intérêt de remplacer un nombre par un représentant plus simple de sa classe.