Exercice 30

Les quatre relations sont de la même forme : $x \,\mathcal{R}\, y \iff \phi(x) = \phi(y)$, pour une application $\phi$ bien choisie. Une telle relation est toujours une relation d'équivalence, car l'égalité est réflexive, symétrique et transitive. Sa classe de $x$ est l'image réciproque $\phi^{-1}\big(\{\phi(x)\}\big)$, ensemble des éléments qui ont la même image que $x$.

1. Avec $\phi(x,y) = x$, la classe de $(x_{0},y_{0})$ est la droite verticale d'équation $x = x_{0}$.

2. Avec $\phi(x,y) = x^{2} + y^{2}$, la classe de $(x_{0},y_{0})$ est le cercle de centre $O$ passant par ce point, réduit à $\{O\}$ si $(x_{0},y_{0}) = (0,0)$.

Dans les deux cas, les classes découpent le plan en morceaux disjoints qui le recouvrent : des droites parallèles à gauche, des cercles concentriques et l'origine à droite. La classe du point marqué est tracée en ocre.

3. On a $x^{2} - y^{2} = x - y \iff x^{2} - x = y^{2} - y$ : c'est la forme précédente avec $\phi(x) = x^{2} - x$. De plus, $$x^{2} - y^{2} - (x - y) = (x - y)(x + y - 1),$$ donc $y \,\mathcal{R}\, x$ si et seulement si $y = x$ ou $y = 1 - x$. $$\boxed{\text{La classe de } x \text{ est } \{x, 1 - x\} : \text{ deux éléments, sauf pour } x = \tfrac{1}{2}, \text{ dont la classe est } \{\tfrac{1}{2}\}.}$$

4. Pour $x$ et $y$ non nuls, $xy > 0$ si et seulement si $x$ et $y$ ont le même signe : c'est la forme précédente, où $\phi(x)$ est le signe de $x$. $$\boxed{\text{Il y a deux classes : } \mathbb{R}_{+}^{*} \text{ et } \mathbb{R}_{-}^{*}.}$$ À retenir : « avoir la même image par $\phi$ » est la manière la plus rapide de démontrer qu'une relation est une équivalence. Toute relation d'équivalence est d'ailleurs de cette forme, avec pour $\phi$ l'application qui associe à chaque élément sa classe.