Exercice 29

1. L'erreur est dans le « Si $x \,\mathcal{R}\, y$ » : rien n'assure l'existence d'un tel $y$. Le raisonnement montre seulement que tout élément en relation avec au moins un élément est en relation avec lui-même. La relation $\mathcal{R}_{4}$ de l'exercice 27 est un contre-exemple, de même que la relation vide sur un ensemble non vide. $$\boxed{\text{Le raisonnement devient correct si l'on suppose } \forall x \in E,\ \exists y \in E,\ x \,\mathcal{R}\, y.}$$

2. Soit $\mathcal{R}$ une telle relation. Si $x \,\mathcal{R}\, y$, alors $y \,\mathcal{R}\, x$ par symétrie, donc $x = y$ par antisymétrie. Réciproquement, $x \,\mathcal{R}\, x$ pour tout $x$, par réflexivité. $$\boxed{x \,\mathcal{R}\, y \iff x = y}$$

3. La relation $\sim$ est réflexive, car $\mathcal{R}$ l'est ; elle est symétrique par construction. Si $x \sim y$ et $y \sim z$, alors $x \,\mathcal{R}\, y$ et $y \,\mathcal{R}\, z$, donc $x \,\mathcal{R}\, z$, et de même $z \,\mathcal{R}\, x$ : elle est transitive. $$\boxed{\sim \text{ est une relation d'équivalence.}}$$ Pour la divisibilité sur $\mathbb{Z}$, $a \mid b$ et $b \mid a$ équivaut à $|a| = |b|$. $$\boxed{a \sim b \iff b = \pm a, \text{ et les classes sont les } \{a, -a\}.}$$ La divisibilité n'est pas un ordre sur $\mathbb{Z}$, faute d'antisymétrie, mais elle le devient sur l'ensemble des classes, que l'on peut identifier à $\mathbb{N}$ : c'est pourquoi on la restreint à $\mathbb{N}$ dans le cours.