Exercice 27

1. On lit les graphes sur les diagrammes, puis on teste chaque propriété.

• $\mathcal{R}_{1} = \{(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,1)\}$ est réflexive, symétrique et transitive ; elle n'est pas antisymétrique, puisque $1 \,\mathcal{R}_{1}\, 2$ et $2 \,\mathcal{R}_{1}\, 1$.

• $\mathcal{R}_{2} = \{(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,3), (1,3)\}$ est réflexive, antisymétrique et transitive ; elle n'est pas symétrique.

• $\mathcal{R}_{3} = \{(1,2), (2,3)\}$ est antisymétrique, mais ni réflexive, ni symétrique, ni transitive : on a $1 \,\mathcal{R}_{3}\, 2$ et $2 \,\mathcal{R}_{3}\, 3$, mais pas $1 \,\mathcal{R}_{3}\, 3$.

• $\mathcal{R}_{4} = \{(1,1), (2,2), (1,2), (2,1)\}$ est symétrique et transitive, mais pas réflexive, puisque $3$ n'est pas en relation avec lui-même, ni antisymétrique.

2. On rassemble les résultats. $$\boxed{\mathcal{R}_{1} \text{ est une équivalence, de classes } \{1,2\} \text{ et } \{3\} \ ; \ \mathcal{R}_{2} \text{ est l'ordre total } 1 \preccurlyeq 2 \preccurlyeq 3.}$$ Les relations $\mathcal{R}_{3}$ et $\mathcal{R}_{4}$ ne sont ni l'un ni l'autre. La relation $\mathcal{R}_{4}$ est le contre-exemple type de l'exercice 29 : symétrique et transitive sans être réflexive.

3. Une relation d'ordre contenant $\mathcal{R}_{3}$ doit contenir les trois boucles, par réflexivité, et le couple $(1,3)$, par transitivité. Ces quatre couples suffisent, puisqu'on obtient $\mathcal{R}_{2}$. $$\boxed{\text{On ajoute } (1,1), (2,2), (3,3) \text{ et } (1,3) \text{, et l'on obtient } \mathcal{R}_{2}.}$$