Exercice 44

1. On a $f(0) = f(0 \cdot 0) = f(0)^{2}$ et $f(1) = f(1)^{2}$, donc $f(0)$ et $f(1)$ appartiennent à $\{0,1\}$. Comme $f(0) < f(1)$, on obtient $f(0) = 0$ et $f(1) = 1$. Par récurrence sur $j$, $f(k^{j+1}) = f(k^{j})\,f(k) = k^{j} \cdot k$. $$\boxed{f(0) = 0, \quad f(1) = 1, \quad f(k^{j}) = k^{j} \text{ pour tout } j \in \mathbb{N}}$$

2. L'inégalité $f(n) \geqslant n$ est l'affirmation 2 de l'exercice 41. Plus précisément, une application strictement croissante à valeurs entières augmente d'au moins $1$ à chaque pas, donc, pour $m \leqslant n$, $$f(n) - f(m) \geqslant n - m.$$ Soit $n \in [\![k^{j}\,;k^{j+1}]\!]$. On applique cette inégalité entre $k^{j}$ et $n$, puis entre $n$ et $k^{j+1}$ : $$f(n) \geqslant f(k^{j}) + (n - k^{j}) = n \qquad\text{et}\qquad f(n) \leqslant f(k^{j+1}) - (k^{j+1} - n) = n.$$

$$\boxed{f(n) = n \text{ pour tout } n \in [\![k^{j}\,;k^{j+1}]\!]}$$ L'image de l'intervalle d'entiers $[\![k^{j}\,;k^{j+1}]\!]$ est « coincée » : ses extrémités sont fixes, et une application strictement croissante n'a pas la place de s'en écarter.

3. Les intervalles $[\![k^{j}\,;k^{j+1}]\!]$, pour $j \in \mathbb{N}$, recouvrent $\mathbb{N}^{*}$, car $k^{0} = 1$ et $k^{j}$ tend vers $+\infty$. Avec $f(0) = 0$, on conclut. $$\boxed{f = \mathrm{id}_{\mathbb{N}}}$$ L'hypothèse $f(k) = k$ est indispensable : l'application $n \mapsto n^{2}$ est strictement croissante et multiplicative, mais ses seuls points fixes sont $0$ et $1$.