Exercice 43

1. Soit $g$ telle que $g \circ g = f$, avec $f$ bijective. Comme $g \circ g$ est injective, $g$ l'est (proposition 6 du cours, appliquée à la composée $g \circ g$) ; comme $g \circ g$ est surjective, $g$ l'est aussi. Enfin, $$g \circ f = g \circ g \circ g = f \circ g.$$

$$\boxed{g \text{ est bijective et commute avec } f.}$$ La commutation ne demande d'ailleurs pas que $f$ soit bijective : toute racine carrée de $f$ commute avec $f$.

2. Soit $f : n \mapsto n + 1$ sur $\mathbb{Z}$, et supposons $g \circ g = f$. D'après la question 1, $g(n + 1) = g(n) + 1$ pour tout $n$, d'où, par récurrence dans les deux sens, $g(n) = n + c$ avec $c = g(0)$. Alors $g(g(n)) = n + 2c$, et l'on devrait avoir $2c = 1$, ce qui est impossible dans $\mathbb{Z}$. $$\boxed{n \mapsto n + 1 \text{ n'a pas de racine carrée sur } \mathbb{Z} \ ; \ n \mapsto n + 1 \text{ est une racine carrée de } n \mapsto n + 2.}$$ Sur $\mathbb{N}$, le même raisonnement s'applique : la commutation donne $g(n) = n + g(0)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, puis $2g(0) = 1$. $$\boxed{n \mapsto n + 1 \text{ n'a pas de racine carrée sur } \mathbb{N} \text{ non plus.}}$$

3. Si $g(x) = ax + b$, alors $g(g(x)) = a^{2}x + (a + 1)b$, et l'égalité avec $-x$ imposerait $a^{2} = -1$ : il n'y a pas de racine carrée affine. Pour en construire une, on s'inspire de la rotation d'un quart de tour, qui envoie un vecteur $u$ sur $v$, puis $v$ sur $-u$. On fait « tourner » quatre blocs, pour chaque entier $k \in \mathbb{N}$ : $$\boxed{g(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{si } x \in \,]2k\,,2k+1] \\ 1 - x & \text{si } x \in \,]2k+1\,,2k+2] \\ x - 1 & \text{si } x \in [-2k-1\,,-2k[ \\ -x - 1 & \text{si } x \in [-2k-2\,,-2k-1[ \end{cases} \qquad g(0) = 0}$$ Ces blocs recouvrent $\mathbb{R}$, et $g$ envoie chaque bloc sur le suivant dans le cycle $$]2k\,,2k+1] \ \longrightarrow \ ]2k+1\,,2k+2] \ \longrightarrow \ [-2k-1\,,-2k[ \ \longrightarrow \ [-2k-2\,,-2k-1[ \ \longrightarrow \ ]2k\,,2k+1].$$ On vérifie $g(g(x)) = -x$ sur chaque bloc :

• sur $]2k\,,2k+1]$ : $x \mapsto x + 1 \mapsto 1 - (x + 1) = -x$ ;

• sur $]2k+1\,,2k+2]$ : $x \mapsto 1 - x \mapsto (1 - x) - 1 = -x$ ;

• sur $[-2k-1\,,-2k[$ : $x \mapsto x - 1 \mapsto -(x - 1) - 1 = -x$ ;

• sur $[-2k-2\,,-2k-1[$ : $x \mapsto -x - 1 \mapsto (-x - 1) + 1 = -x$.

Quatre applications de $g$ ramènent chaque réel à lui-même, comme quatre quarts de tour. Une telle racine carrée ne peut pas être continue, mais ce n'était pas demandé.