Exercice 45

1. Si $h(k) = f(k)\,g(k)$ vaut $\pm p$ avec $p$ premier, l'un des deux facteurs vaut $\pm 1$, puisque les seuls diviseurs de $p$ sont $\pm 1$ et $\pm p$. Or $f$ est injective, donc $f(k) \in \{-1,1\}$ pour au plus deux entiers $k$ ; de même pour $g$. $$\boxed{\text{Au plus quatre entiers } k \text{ vérifient } h(k) = \pm p \text{ avec } p \text{ premier.}}$$

2. D'après la question 1, l'application $h$ atteint au plus quatre valeurs de la forme $\pm p$. Or il existe une infinité de nombres premiers : l'un d'eux au moins n'est pas atteint. $$\boxed{h \text{ n'est pas surjective.}}$$

3. Oui. On prend $f = \mathrm{id}_{\mathbb{Z}}$, et $g$ égale à l'identité sur $\mathbb{N}$, qui permute circulairement les entiers négatifs par blocs de trois : pour tout $j \in \mathbb{N}$, $$g : \quad -(3j+1) \longmapsto -(3j+2) \longmapsto -(3j+3) \longmapsto -(3j+1).$$ L'application $g$ est une bijection de $\mathbb{Z}$, puisqu'elle permute chaque bloc. Les valeurs de $h$ sont alors :

• pour $k \in \mathbb{N}$, $h(k) = k^{2}$ : ce sont les carrés, deux à deux distincts ;

• pour le bloc d'indice $j$, les valeurs $(3j+1)(3j+2)$, $(3j+1)(3j+3)$ et $(3j+2)(3j+3)$.

Ces trois produits sont rangés par ordre strictement croissant, le dernier est strictement inférieur au premier produit du bloc suivant, $(3j+4)(3j+5)$, et aucun n'est un carré : les deux premiers sont strictement compris entre $(3j+1)^{2}$ et $(3j+2)^{2}$, le troisième entre $(3j+2)^{2}$ et $(3j+3)^{2}$. $$\boxed{h \text{ est injective pour ce choix de } f \text{ et } g.}$$ Piège : la tentative naturelle d'échanger $-1$ et $-2$, puis $-3$ et $-4$, etc., échoue, car $h(-1) = (-1)(-2) = (-2)(-1) = h(-2)$. Une transposition donne deux fois le même produit ; c'est pourquoi l'on utilise des cycles de longueur $3$.