Exercice 48

1. Si $X \subset Y$, alors $f(X) \subset f(Y)$, puis $g\big(f(X)\big) \subset g\big(f(Y)\big)$, d'après l'exercice 8 ; donc $\Phi(X) \subset \Phi(Y)$. L'exercice 39 fournit alors un point fixe de $\Phi$. $$\boxed{\text{Il existe } A \subset E \text{ telle que } A = G \cup g\big(f(A)\big).}$$

2. Soit $x \in B$. Comme $x \notin A$ et $G \subset A$, on a $x \notin G = E \setminus g(F)$, donc $x \in g(F)$ : il possède un antécédent par $g$, unique puisque $g$ est injective.

3. L'égalité $\xi(B) = g^{-1}(B)$. Si $x \in B$, alors $g(\xi(x)) = x \in B$, donc $\xi(x) \in g^{-1}(B)$. Si $y \in g^{-1}(B)$, alors $x = g(y)$ appartient à $B$, et $y = \xi(x)$.

Disjonction. Si $y = f(a)$ avec $a \in A$, alors $g(y) = g(f(a)) \in g(f(A)) \subset A$, donc $g(y) \notin B$ : on a $f(A) \cap g^{-1}(B) = \varnothing$.

Recouvrement. Soit $y \in F$. Si $g(y) \in B$, alors $y \in g^{-1}(B)$. Sinon, $g(y) \in A = G \cup g(f(A))$ ; comme $g(y) \notin G$, il s'écrit $g(y) = g(f(a))$ avec $a \in A$, et l'injectivité de $g$ donne $y = f(a) \in f(A)$. $$\boxed{F = f(A) \cup g^{-1}(B), \text{ réunion disjointe}}$$

Bijectivité de $\varphi$. La restriction de $\varphi$ à $A$ est $f_{|A}$, injective, à valeurs dans $f(A)$. Sa restriction à $B$ est $\xi$, injective puisque $g \circ \xi = \mathrm{id}_{B}$, à valeurs dans $g^{-1}(B)$. Ces deux images sont disjointes, donc $\varphi$ est injective ; elles recouvrent $F$, donc $\varphi$ est surjective. $$\boxed{\varphi \text{ est une bijection de } E \text{ sur } F.}$$

La bijection $\varphi$ se lit sur ce schéma : elle suit $f$ sur la partie $A$ et remonte $g$ sur la partie $B$, et les deux morceaux d'arrivée s'emboîtent exactement pour former $F$.

4. L'application $n \mapsto (n,0)$ est une injection de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}^{2}$. L'application $(a,b) \mapsto 2^{a}3^{b}$ est une injection de $\mathbb{N}^{2}$ dans $\mathbb{N}$ : si $2^{a}3^{b} = 2^{a'}3^{b'}$ avec $a \leqslant a'$, on divise par $2^{a}$ ; l'entier impair $3^{b}$ est égal à $2^{a'-a}3^{b'}$, donc $a = a'$, puis $3^{b} = 3^{b'}$ et $b = b'$. Le théorème de Cantor-Bernstein conclut.

De même, l'inclusion $[0\,,1[ \ \to [0\,,1]$ et l'application $[0\,,1] \to [0\,,1[$, $x \mapsto \frac{x}{2}$, sont injectives. $$\boxed{\mathbb{N} \text{ et } \mathbb{N}^{2} \text{ sont équipotents, ainsi que } [0\,,1] \text{ et } [0\,,1[.}$$ À retenir : pour montrer que deux ensembles sont équipotents, il suffit de trouver une injection dans chaque sens, ce qui est souvent bien plus facile que d'exhiber une bijection, comme le montre la comparaison avec l'exercice 26.