Exercice 56

1. Les racines carrées de $8 - 6\mathrm{i}$ sont $\pm(3 - \mathrm{i})$ (exercice 31). L'équation $f(z) = 1 + \mathrm{i}$ équivaut, pour $z \neq 2\mathrm{i}$, à $z^{2} - (1 + \mathrm{i})z + 2\mathrm{i}(1 + \mathrm{i}) = 0$, de discriminant $(1 + \mathrm{i})^{2} - 8\mathrm{i}(1 + \mathrm{i}) = 8 - 6\mathrm{i}$. $$z = \frac{1 + \mathrm{i} \pm (3 - \mathrm{i})}{2}, \qquad \boxed{\text{les antécédents de } 1 + \mathrm{i} \text{ sont } 2 \text{ et } -1 + \mathrm{i}}$$ On vérifie : $f(2) = \frac{4}{2 - 2\mathrm{i}} = 1 + \mathrm{i}$ ✓.

2. Le nombre $1 + \mathrm{i}$ a deux antécédents : $$\boxed{f \text{ n'est pas injective}}$$ Soit $w \in \mathbb{C}$ ; l'équation $z^{2} - wz + 2\mathrm{i} w = 0$ a au moins une solution d'après le théorème 4 du cours, et cette solution n'est pas $2\mathrm{i}$, puisque $(2\mathrm{i})^{2} - 2\mathrm{i} w + 2\mathrm{i} w = -4 \neq 0$. C'est donc un antécédent de $w$ : $$\boxed{f \text{ est surjective}}$$

3. Le nombre $w$ a un unique antécédent si et seulement si le discriminant $w^{2} - 8\mathrm{i} w = w(w - 8\mathrm{i})$ est nul. $$\boxed{w = 0, \text{ d'antécédent } 0, \qquad\text{et}\qquad w = 8\mathrm{i}, \text{ d'antécédent } 4\mathrm{i}}$$ On vérifie que $f(4\mathrm{i}) = \frac{-16}{2\mathrm{i}} = 8\mathrm{i}$ ✓. Cet exercice reprend le corrigé de l'exercice 7 du chapitre 2, où l'existence d'une racine carrée complexe avait été admise.