Feuille d'exercicesMaths Sup – MPSI, chapitre 4

Nombres complexes et trigonométrie

64 exercices corrigés · 16   35   11   2

Trigonométrie

• Exercice 1 1. Calculer les valeurs exactes de cos 538π/3, sin 123π/6 et tan (- 77π/4). 2. Soit x un réel tel que cos x = - 4/5. Calculer cos (x - π), cos (-π -…
• Exercice 2 Résoudre dans ℝ les équations suivantes, en s'aidant du cercle trigonométrique, puis représenter sur le cercle les points associés aux solutions.…
• Exercice 3 Résoudre dans ℝ les équations suivantes. On donnera les solutions appartenant à [0,2π[ pour les deux dernières. (a) sin (5x) = sin (2π/3 + x) (b)…
• Exercice 4 Démontrer les égalités suivantes, en précisant pour quels réels x elles ont un sens. 1. (1 - cos x)/(sin x) = tan x/2. 2. sin (x - 2π/3) + sin x +…
• Exercice 5 1. Calculer cos π/12 et sin π/12 en écrivant π/12 = π/3 - π/4. 2. Calculer à nouveau cos π/12 en écrivant π/12 = 1/2 × π/6 et en utilisant une…
• Exercice 6 Résoudre les inéquations suivantes sur l'intervalle indiqué. (a) sin x ≥ 1/2, sur [0,2π], puis sur [-π,π], puis sur ℝ. (b) 2sin ^2 x ≤ 1, sur ℝ. (c)…
• Exercice 7 1. Pour quelles valeurs du réel m l'équation √3cos x - sin x = m admet-elle des solutions réelles ? Les déterminer lorsque m = √2. 2. Résoudre dans…
• Exercice 8 Déterminer les couples (x, y) ∈ [-π,π]^2 tels que { begin array{rcrcl} 2cos x & + & 3sin y & = & √2 - 3/2 [3mm] 4cos x & + & sin y & = & 2√2 - 1/2…
• Exercice 9 On considère la fonction f définie par f(x) = (sin x)/(2 + cos x). 1. Déterminer son ensemble de définition. Calculer f(x + 2π) et f(-x), et en…
• Exercice 10 1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier n ≥ 1 et tout réel x, |sin (nx)| ≤ n |sin x|. 2. Soit a ∈ ]0,π[. Montrer que, pour tout entier n ≥…
• Exercice 11 On se propose de déterminer les réels t tels que cos t = (1 + √5)/4. 1. Exprimer cos (4t) en fonction de c = cos t. 2. On pose c = cos π/5.…

Le corps des nombres complexes

• Exercice 12 Écrire chacun des nombres complexes suivants sous forme algébrique, et calculer son module. (a) 1/i (b) (1 + i)/(1 - i) (c) ((2 + 3 i)^2)/(4 - 2 i)…
• Exercice 13 Résoudre dans ℂ les équations suivantes, d'inconnue z. (a) 2z + i = overline z + 1 (b) 2z + 6overline z = 3 + 2 i (c) 2z + 2overline z = 2 + 3 i (d)…
• Exercice 14 Soit n ∈ ℕ^(). Calculer les nombres suivants, en distinguant des cas selon le reste de la division de n par un entier que l'on choisira avec soin:…
• Exercice 15 Chacun des raisonnements suivants contient une erreur. La localiser, l'expliquer, et corriger la conclusion lorsque c'est possible. (a) « On a i >…
• Exercice 16 Soit z et z' deux nombres complexes. 1. Démontrer l'identité du parallélogramme |z + z'|^2 + |z - z'|^2 = 2 (|z|^2 + |z'|^2), et en donner une…
• Exercice 17 Soit n ≥ 2 et z_1, …, z_n des complexes non nuls. Démontrer que |Σ_(k=1)^n z_k | = Σ_(k=1)^n |z_k| si et seulement s'il existe des réels λ_2, …, λ_n…
• Exercice 18 Soit a un complexe tel que |a| < 1. 1. Montrer que 1 - overline az ≠ 0 pour tout complexe z tel que |z| ≤ 1. 2. Établir, pour tout complexe z tel…
• Exercice 19 On note S = n^2 + m^2 mid (n, m) ∈ ℤ^2 l'ensemble des entiers sommes de deux carrés. 1. Montrer que 3 ∉ S. 2. En interprétant n^2 + m^2 comme le…

Nombres complexes de module 1 et trigonométrie

• Exercice 20 Linéariser les expressions suivantes, c'est-à-dire les écrire comme des sommes de termes cos (kx) et sin (kx) avec k entier. (a) cos ^4 x (b) sin ^5…
• Exercice 21 1. Exprimer cos (4x) et sin (4x) en fonction de cos x et sin x. 2. Montrer que cos (5x) = 16cos ^5 x - 20cos ^3 x + 5cos x pour tout réel x. 3. En…
• Exercice 22 Soit n ∈ ℕ^() et x un réel. Calculer les sommes suivantes, en précisant les valeurs de x à écarter. (a) Σ_(k=0)^n binom n{k}cos (kx) et Σ_(k=0)^n…
• Exercice 23 Soit n ≥ 2 un entier. Montrer que Σ_(k=1)^(n-1) sin kπ/n = (cos π/2n)/(sin π/2n). Vérifier la formule pour n = 2 et n = 3.
• Exercice 24 1. Soit u, v et w trois éléments de 𝕌. Montrer que |u + v + w| = |uv + vw + wu|. 2. Soit x, y et z trois réels tels que e^(i x) + e^(i y) + e^(i z)…
• Exercice 25 1. Soit z et z' deux éléments de 𝕌 tels que zz' ≠ -1. Montrer que (z + z')/(1 + zz') est réel. 2. Soit z ∈ 𝕌 setminus 1. Montrer que i (1 + z)/(1…
• Exercice 26 Montrer que l'ensemble des complexes non nuls z tels que z + 1/z est réel est la réunion 𝕌 ∪ ℝ^().

Forme trigonométrique

• Exercice 27 Écrire les nombres complexes suivants sous forme trigonométrique (x est un réel). (a) 1 + i√3 (b) -3 (c) 9 i (d) (- i√2)/(1 + i) (e) ((1 +…
• Exercice 28 1. Écrire sous forme algébrique (1 + i)^18, ((1 + i√3)/(1 - i))^20 et ((1 - i)^10(√3 + i)^5)/((-1 - i√3)^10). 2. Déterminer les entiers naturels n…
• Exercice 29 Soit a et b deux réels de l'intervalle ]0,π[ et θ un réel tel que θ not equiv π [2π]. 1. Écrire sous forme trigonométrique 1 + e^(i a), 1 - e^(i a),…
• Exercice 30 1. Soit n ∈ ℕ. Calculer (1 + i√3)^n + (1 - i√3)^n, et en déduire que ce nombre est un entier relatif divisible par 2^n. 2. Montrer, sans développer,…

Équations algébriques

• Exercice 31 Déterminer, sous forme algébrique, les racines carrées des nombres complexes suivants. (a) i (b) 3 - 4 i (c) 8 - 6 i (d) 24 - 10 i (e) 1 + 2 i…
• Exercice 32 Résoudre dans ℂ les équations suivantes, d'inconnue z. (a) z^2 + z + 1 = 0 (b) z^2 - 2 i z + 2 - 4 i = 0 (c) 4z^2 - 16z + 11 - 12 i = 0 (d) i z^2 +…
• Exercice 33 Déterminer les couples (x, y) de nombres complexes tels que (a) { begin array{l} x + y = 3 + 4 i xy = 5 + 15 i end array. (b) { begin array{l} x + y…
• Exercice 34 1. Montrer que l'équation z^3 + (1 + i)z^2 + (i - 1)z - i = 0 admet une solution imaginaire pure, puis la résoudre complètement. 2. Résoudre…
• Exercice 35 Déterminer les réels m tels que l'équation z^3 + (3 + i)z^2 - 3z - (m + i) = 0 admette au moins une solution réelle, et préciser alors cette solution.
• Exercice 36 1. Soit z ∈ ℂ setminus ℝ. Trouver deux réels p et q tels que z^2 + pz + q = 0. Sont-ils uniques ? 2. Soit p et q deux complexes, avec q ≠ 0, et z_1,…
• Exercice 37 L'introduction du cours rapporte le calcul de Bombelli, (2 + i)^3 = 2 + 11 i. 1. Vérifier ce calcul, puis factoriser z^3 - (2 + 11 i) par z - (2 +…

Racines $n$-ièmes

• Exercice 38 Résoudre dans ℂ les équations suivantes, et représenter les solutions des deux premières dans le plan complexe. (a) z^3 = 1 - i√3 (b) z^6 = (-4)/(1…
• Exercice 39 Résoudre dans ℂ les équations suivantes, où n ≥ 2 est un entier. (a) (z - 1)^5 = (z + 1)^5 (b) (z + i)^n = (z - i)^n (c) 27(z - 1)^6 + (z + 1)^6 = 0…
• Exercice 40 Soit n ∈ ℕ^(). Résoudre dans ℂ l'équation 1 + 2z + 2z^2 + … + 2z^(n-1) + z^n = 0.
• Exercice 41 On pose ω = e^(2 iπ/5). 1. Montrer que 1 + ω + ω^2 + ω^3 + ω^4 = 0, et en déduire que 1 + 2cos 2π/5 + 2cos 4π/5 = 0. 2. En déduire une équation du…
• Exercice 42 Soit n ≥ 1 un entier. 1. Calculer le produit des éléments de 𝕌_n. 2. On note Q = ω^2 mid ω ∈ 𝕌_n. Montrer que Q ⊂ 𝕌_n, puis que Q = 𝕌_n si et…
• Exercice 43 On pose ω = e^(2 iπ/7), A = ω + ω^2 + ω^4 et B = ω^3 + ω^5 + ω^6. 1. Calculer A + B et AB. 2. Montrer que Im A > 0. On pourra écrire Im A à l'aide…
• Exercice 44 Soit n ∈ ℕ^() et j = e^(2 iπ/3). On pose S_0 = Σ_(0 ≤ 3p ≤ n) binom n{3p}, S_1 = Σ_(0 ≤ 3p + 1 ≤ n) binom n{3p + 1}, S_2 = Σ_(0 ≤ 3p + 2 ≤ n) binom…
• Exercice 45 Soit n ∈ ℕ^() et A un nombre complexe. On considère l'équation, d'inconnue z ∈ ℂ setminus - i, ((1 + i z)/(1 - i z))^n = A. 1. Montrer que…

Exponentielle complexe

• Exercice 46 Résoudre dans ℂ les équations suivantes, d'inconnue z. (a) e^z = 3√3 - 3 i (b) e^z = i (c) e^z = 0 (d) e^z + e^(-z) = 1 (e) e^2z + (i - 2) e^z = 2 i…
• Exercice 47 1. Montrer que | e^z| ≤ e^(|z|) pour tout complexe z, et déterminer les cas d'égalité. 2. Déterminer l'image par l'exponentielle complexe de la…

Interprétation géométrique

• Exercice 48 Déterminer et représenter l'ensemble des points M d'affixe z vérifiant chacune des conditions suivantes. (a) |z - i| = |z + i| (b) |(1 + i)z - 2 i|…
• Exercice 49 1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques des transformations dont l'écriture complexe suit. (a) z ↦ e^(iπ/3)z + 1 (b) z ↦ z + 4 - 2…
• Exercice 50 Déterminer les complexes z tels que les points d'affixes z, z^2 et z^3 soient deux à deux distincts et forment un triangle rectangle. Représenter…
• Exercice 51 Soit a, b et c trois éléments de 𝕌 tels que a + b + c = 0. 1. Montrer que b/a + c/a = -1, puis que b/a et c/a sont les solutions d'une équation du…
• Exercice 52 On note j = e^(2 iπ/3). Un triangle ABC est dit équilatéral direct si AB = AC et si π/3 est une mesure de l'angle orienté (overrightarrow AB,…
• Exercice 53 Dans le plan complexe, on note A_0 le point d'affixe 6 et S la similitude directe de centre O, de rapport (√3)/2 et d'angle π/6. On définit les…

Exercices de synthèse

• Exercice 54 Vrai ou faux. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse par une démonstration ou un…
• Exercice 55 On note j = e^(2 iπ/3) et E = a^2 - ab + b^2 mid (a, b) ∈ ℤ^2. 1. Montrer que, pour tous entiers a et b, a^2 - ab + b^2 = |a + bj^2|^2. 2. Montrer…
• Exercice 56 On considère l'application f: ℂ setminus 2 i → ℂ définie par f(z) = (z^2)/(z - 2 i). 1. Déterminer les racines carrées de 8 - 6 i, puis les…
• Exercice 57 On note ℤ[ i] = a + b i mid (a, b) ∈ ℤ^2 l'ensemble des affixes des nœuds d'un quadrillage, et ℤ[j] = a + bj mid (a, b) ∈ ℤ^2, où j = e^(2 iπ/3),…
• Exercice 58 Soit n ≥ 3 un entier. On appelle triangle de 𝕌_n toute partie de 𝕌_n à trois éléments, que l'on identifie au triangle dont les sommets ont pour…
• Exercice 59 Soit z un élément de 𝕌 différent de 1. On se propose de montrer qu'il existe un entier n ≥ 1 tel que |z^n - 1| ≥ √3: les points d'affixes z, z^2,…
• Exercice 60 Soit n ∈ ℕ et z_1, …, z_(2n+1) des nombres complexes de module 1, de parties réelles positives ou nulles. On veut montrer que |Σ_(k=1)^(2n+1) z_k |…
• Exercice 61 Soit z_1, …, z_n des nombres complexes. On veut montrer qu'il existe une partie I de [ [1;n] ] telle que |Σ_(k ∈ I) z_k | ≥ 1/4 Σ_(k=1)^n |z_k|. 1.…
• Exercice 62 Soit n ≥ 1 un entier, M un réel positif et z_1, …, z_n des nombres complexes de modules au plus M. On veut montrer qu'il existe des signes ε_1, …,…
• Exercice 63 On note G l'ensemble des nombres complexes de module 1 dont la partie réelle et la partie imaginaire sont rationnelles. 1. À l'aide des formules du…
• Exercice 64 Cet exercice prolonge l'exercice 61: on montre que la meilleure constante possible est 1/π. On fixe un entier pair N = 2p ≥ 2, on pose θ_m = 2mπ/N…