Exercice 6

(a) Les points d'ordonnée au moins $\frac{1}{2}$ forment l'arc allant de $M(\frac{\pi}{6})$ à $M(\frac{5\pi}{6})$ par le haut. $$\boxed{\Big[\frac{\pi}{6}\,,\frac{5\pi}{6}\Big] \text{ sur } [0\,,2\pi] \text{ comme sur } [-\pi\,,\pi], \qquad \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \Big[\frac{\pi}{6} + 2k\pi\,,\frac{5\pi}{6} + 2k\pi\Big] \text{ sur } \mathbb{R}}$$

(b) On a $2\sin^{2} x \leqslant 1 \iff \cos(2x) \geqslant 0 \iff 2x \in [-\frac{\pi}{2} + 2k\pi\,,\frac{\pi}{2} + 2k\pi]$ pour un $k \in \mathbb{Z}$. $$\boxed{\bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \Big[-\frac{\pi}{4} + k\pi\,,\frac{\pi}{4} + k\pi\Big]}$$

(c) Comme $\cos(2x) = 2\cos^{2} x - 1$, l'inéquation équivaut à $\cos^{2} x \leqslant 1$, toujours vraie : $$\boxed{\text{l'ensemble des solutions est } \mathbb{R}}$$

(d) Le trinôme $2X^{2} - 9X + 4$ a pour racines $\frac{1}{2}$ et $4$, et l'inéquation s'écrit $(2\cos x - 1)(\cos x - 4) \geqslant 0$. Le second facteur est toujours strictement négatif, donc l'inéquation équivaut à $\cos x \leqslant \frac{1}{2}$. $$\boxed{\bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \Big[\frac{\pi}{3} + 2k\pi\,,\frac{5\pi}{3} + 2k\pi\Big]}$$

(e) L'inéquation a un sens pour $x \neq \pm\frac{\pi}{2}$, et elle s'écrit $\dfrac{\sin x\,(1 - 2\cos x)}{\cos x} \geqslant 0$. On dresse le tableau de signes sur $]-\pi\,,\pi]$.

Piège : on ne multiplie pas les deux membres par $\cos x$, dont le signe varie ; c'est l'erreur la plus répandue sur ce type d'inéquation.