Exercice 7

1. Comme $\sqrt{3} - \mathrm{i} = 2\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/6}$, la proposition 18 du cours donne $\sqrt{3}\cos x - \sin x = 2\cos(x + \frac{\pi}{6})$, qui décrit exactement $[-2\,,2]$ lorsque $x$ décrit $\mathbb{R}$. $$\boxed{\text{l'équation a des solutions si et seulement si } m \in [-2\,,2]}$$ Pour $m = \sqrt{2}$, l'équation s'écrit $\cos(x + \frac{\pi}{6}) = \cos\frac{\pi}{4}$, d'où $x + \frac{\pi}{6} \equiv \pm\frac{\pi}{4}\ [2\pi]$. $$\boxed{x \equiv \frac{\pi}{12}\ [2\pi] \ \text{ ou } \ x \equiv -\frac{5\pi}{12}\ [2\pi]}$$

2. L'équation s'écrit $\cos x - \sqrt{3}\sin x = 1$, soit $2\cos(x + \frac{\pi}{3}) = 1$, puisque $1 - \mathrm{i}\sqrt{3} = 2\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/3}$. Alors $x + \frac{\pi}{3} \equiv \pm\frac{\pi}{3}\ [2\pi]$. $$\boxed{x \equiv 0\ [2\pi] \ \text{ ou } \ x \equiv -\frac{2\pi}{3}\ [2\pi]}$$