Exercice 8

On pose $u = \cos x$ et $v = \sin y$, qui vérifient le système linéaire $2u + 3v = \sqrt{2} - \frac{3}{2}$, $4u + v = 2\sqrt{2} - \frac{1}{2}$. L'opération $L_{1} \leftarrow 3L_{2} - L_{1}$, puis la remontée, donnent $$10u = 6\sqrt{2} - \frac{3}{2} - \sqrt{2} + \frac{3}{2} = 5\sqrt{2}, \qquad u = \frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad v = 2\sqrt{2} - \frac{1}{2} - 4u = -\frac{1}{2}.$$ Dans $[-\pi\,,\pi]$, $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ équivaut à $x = \pm\frac{\pi}{4}$, et $\sin y = -\frac{1}{2}$ à $y = -\frac{\pi}{6}$ ou $y = -\frac{5\pi}{6}$. $$\boxed{(x, y) \in \Big\{\Big(\frac{\pi}{4}, -\frac{\pi}{6}\Big), \Big(\frac{\pi}{4}, -\frac{5\pi}{6}\Big), \Big(-\frac{\pi}{4}, -\frac{\pi}{6}\Big), \Big(-\frac{\pi}{4}, -\frac{5\pi}{6}\Big)\Big\}}$$

À retenir : le système n'est pas linéaire en $x$ et $y$, mais il l'est en $\cos x$ et $\sin y$ ; le changement d'inconnues ramène à la méthode du pivot du chapitre 3.