Exercice 9

1. Comme $2 + \cos x \geqslant 1 > 0$, $f$ est définie sur $\mathbb{R}$. Elle est $2\pi$-périodique, et impaire puisque $\sin$ est impaire et $\cos$ paire : sa courbe est symétrique par rapport à l'origine, et il suffit d'étudier $f$ sur $[0\,,\pi]$, la périodicité permettant ensuite de reconstituer la courbe sur $\mathbb{R}$.

2. La formule de dérivation d'un quotient donne $$f'(x) = \frac{\cos x\,(2 + \cos x) + \sin^{2} x}{(2 + \cos x)^{2}} = \boxed{\frac{1 + 2\cos x}{(2 + \cos x)^{2}}},$$ qui est du signe de $1 + 2\cos x$ : positive sur $[0\,,\frac{2\pi}{3}]$, négative sur $[\frac{2\pi}{3}\,,\pi]$. On calcule $f(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}/2}{3/2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

3. Par imparité et périodicité, le maximum de $f$ sur $\mathbb{R}$ vaut $\boxed{\frac{\sqrt{3}}{3}}$, atteint exactement aux réels $\boxed{x \equiv \frac{2\pi}{3}\ [2\pi]}$, et le minimum vaut $-\frac{\sqrt{3}}{3}$, atteint en $x \equiv -\frac{2\pi}{3}\ [2\pi]$.

La courbe oscille entre les deux droites en pointillé ; elle n'est pas sinusoïdale : la montée de $0$ à $\frac{2\pi}{3}$ est plus lente que la descente de $\frac{2\pi}{3}$ à $\pi$.