Exercice 10

1. Pour $n = 1$, il y a égalité. Si l'inégalité est vraie au rang $n$, la formule d'addition et l'inégalité triangulaire donnent $$|\sin((n+1)x)| = |\sin(nx)\cos x + \cos(nx)\sin x| \leqslant |\sin(nx)| + |\sin x| \leqslant (n + 1)|\sin x|,$$ puisque $|\cos x| \leqslant 1$ et $|\cos(nx)| \leqslant 1$. $\boxed{|\sin(nx)| \leqslant n\,|\sin x| \text{ pour tout } n \geqslant 1}$

2. On a $\frac{a}{2^{n}} \in \,]0\,,\pi[$, donc $\sin\frac{a}{2^{n}} > 0$. La formule $\sin(2u) = 2\sin u\cos u$, avec $u = \frac{a}{2^{k}}$, donne $$\cos\frac{a}{2^{k}} = \frac{1}{2}\cdot\frac{\sin(a/2^{k-1})}{\sin(a/2^{k})},$$ et le produit est télescopique, au sens du chapitre 3 : $$\prod_{k=1}^{n} \cos\frac{a}{2^{k}} = \frac{1}{2^{n}}\prod_{k=1}^{n} \frac{\sin(a/2^{k-1})}{\sin(a/2^{k})} = \boxed{\frac{\sin a}{2^{n}\sin(a/2^{n})}}.$$

3. On note $P$ le produit cherché et l'on applique trois fois la formule de duplication, chaque angle étant le double du précédent : $$8\sin\frac{\pi}{7}\,P = 4\sin\frac{2\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7} = 2\sin\frac{4\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7} = \sin\frac{8\pi}{7} = -\sin\frac{\pi}{7}.$$ Comme $\sin\frac{\pi}{7} \neq 0$, on obtient $\boxed{\cos\dfrac{\pi}{7}\cos\dfrac{2\pi}{7}\cos\dfrac{4\pi}{7} = -\dfrac{1}{8}}$

À retenir : la méthode est la même qu'à la question 2, lue dans l'autre sens : on multiplie par le sinus du plus petit angle pour déclencher les duplications successives.