Exercice 11

1. En appliquant deux fois la formule $\cos(2u) = 2\cos^{2} u - 1$ : $$\boxed{\cos(4t) = 2(2c^{2} - 1)^{2} - 1 = 8c^{4} - 8c^{2} + 1}$$

2. On a $\cos\frac{4\pi}{5} = \cos(\pi - \frac{\pi}{5}) = -c$, donc $8c^{4} - 8c^{2} + 1 = -c$, c'est-à-dire $8c^{4} - 8c^{2} + c + 1 = 0$. En développant, on vérifie que $$\boxed{8c^{4} - 8c^{2} + c + 1 = (c + 1)(2c - 1)(4c^{2} - 2c - 1)}$$

3. Les racines sont $-1$, $\frac{1}{2}$ et $\frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$. Or le cosinus est strictement décroissant sur $[0\,,\pi]$, puisque sa dérivée $-\sin$ y est négative et ne s'annule qu'aux bornes ; comme $0 < \frac{\pi}{5} < \frac{\pi}{3}$, on a $c > \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$. Cela élimine $-1$, $\frac{1}{2}$ et $\frac{1 - \sqrt{5}}{4}$, qui est négatif. $$\boxed{\cos\frac{\pi}{5} = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}}$$

4. L'équation s'écrit $\cos t = \cos\frac{\pi}{5}$, et la proposition 4 conclut : $\boxed{t \equiv \frac{\pi}{5}\ [2\pi] \ \text{ ou } \ t \equiv -\frac{\pi}{5}\ [2\pi]}$

À retenir : le nombre $\frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 2\cos\frac{\pi}{5}$ est le nombre d'or ; on le retrouvera avec les racines cinquièmes de l'unité à l'exercice 41.