Exercice 12

Pour un quotient, on multiplie par le conjugué du dénominateur ; le module d'un quotient est le quotient des modules, ce qui fournit un contrôle.

• (a) $\dfrac{1}{\mathrm{i}} = -\mathrm{i}$, de module $1$. (b) $\dfrac{(1 + \mathrm{i})^{2}}{2} = \mathrm{i}$, de module $1$.

• (c) $\dfrac{(-5 + 12\mathrm{i})(4 + 2\mathrm{i})}{20} = \dfrac{-44 + 38\mathrm{i}}{20}$ : $\boxed{-\dfrac{11}{5} + \dfrac{19}{10}\mathrm{i}}$, de module $\dfrac{|2 + 3\mathrm{i}|^{2}}{|4 - 2\mathrm{i}|} = \dfrac{13}{2\sqrt{5}} = \dfrac{13\sqrt{5}}{10}$.

• (d) $\dfrac{(1 + 2\mathrm{i})(1 + 3\mathrm{i})}{10} = \dfrac{-5 + 5\mathrm{i}}{10}$ : $\boxed{-\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\mathrm{i}}$, de module $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

• (e) $\dfrac{1 + \mathrm{i}}{2 - \mathrm{i}} = \dfrac{(1 + \mathrm{i})(2 + \mathrm{i})}{5} = \dfrac{1 + 3\mathrm{i}}{5}$, dont le carré est $\boxed{-\dfrac{8}{25} + \dfrac{6}{25}\mathrm{i}}$, de module $\dfrac{2}{5}$.

• (f) Les deux termes sont conjugués, donc la somme vaut $2\operatorname{Re}\Big(\dfrac{(2 + 5\mathrm{i})(1 + \mathrm{i})}{2}\Big) = \operatorname{Re}(-3 + 7\mathrm{i})$ : $\boxed{-3}$, de module $3$.

• (g) $\dfrac{(1 + \mathrm{i}\sqrt{3})(\sqrt{3} + \mathrm{i})}{4} = \dfrac{4\mathrm{i}}{4} = \boxed{\mathrm{i}}$, de module $1$. (h) $\dfrac{2(1 + \mathrm{i}\sqrt{3})}{4} = \boxed{\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}}$, de module $1$.

• (i) On remarque que $(3 + 2\mathrm{i})(1 - \mathrm{i}) = 5 - \mathrm{i}$, d'où, avec $(1 - \mathrm{i})^{2} = -2\mathrm{i}$, $$\frac{(5 - \mathrm{i})^{6}}{(3 + 2\mathrm{i})^{5}} = (3 + 2\mathrm{i})(1 - \mathrm{i})^{6} = (3 + 2\mathrm{i})(-2\mathrm{i})^{3} = 8\mathrm{i}(3 + 2\mathrm{i}) = \boxed{-16 + 24\mathrm{i}},$$ de module $8\sqrt{13}$.

À retenir : avant de développer une puissance élevée, on cherche une factorisation. Le module permettait de contrôler le résultat : $\frac{26^{3}}{13^{5/2}} = 8\sqrt{13}$.