Exercice 13

On écrit $z = x + \mathrm{i} y$ avec $x$ et $y$ réels, et l'on identifie parties réelles et imaginaires.

• (a) $2x + \mathrm{i}(2y + 1) = x + 1 - \mathrm{i} y$, d'où $x = 1$ et $3y = -1$ : $\boxed{z = 1 - \dfrac{\mathrm{i}}{3}}$

• (b) $8x - 4\mathrm{i} y = 3 + 2\mathrm{i}$ : $\boxed{z = \dfrac{3}{8} - \dfrac{\mathrm{i}}{2}}$

• (c) $2z + 2\overline{z} = 4x$ est réel, alors que $2 + 3\mathrm{i}$ ne l'est pas : $\boxed{\text{aucune solution}}$

• (d) Pas besoin de $x$ et $y$ ici : $z = 1 + \dfrac{\mathrm{i}}{3 + 2\mathrm{i}} = 1 + \dfrac{\mathrm{i}(3 - 2\mathrm{i})}{13}$, d'où $\boxed{z = \dfrac{15 + 3\mathrm{i}}{13}}$

Piège : une équation où figure $\overline{z}$ n'est pas une équation du premier degré en $z$ ; le passage aux parties réelle et imaginaire est la méthode sûre, et l'équation (c) montre qu'il peut n'y avoir aucune solution.