Exercice 14

Les puissances de $\mathrm{i}$ se répètent de quatre en quatre : $\mathrm{i}^{n}$ vaut $1$, $\mathrm{i}$, $-1$, $-\mathrm{i}$ selon que $n \equiv 0$, $1$, $2$, $3$ modulo $4$. La somme est géométrique, de raison $\mathrm{i} \neq 1$ : $$\sum_{k=0}^{n} \mathrm{i}^{k} = \frac{1 - \mathrm{i}^{n+1}}{1 - \mathrm{i}} \qquad\text{vaut}\qquad \boxed{1,\ \ 1 + \mathrm{i},\ \ \mathrm{i},\ \ 0} \quad\text{pour } n \equiv 0, 1, 2, 3 \ [4].$$ Le produit vaut $\mathrm{i}^{1 + 2 + \cdots + n} = \mathrm{i}^{n(n+1)/2}$. Le reste de $\frac{n(n+1)}{2}$ modulo $4$ dépend du reste de $n$ modulo $8$ : pour $n \equiv 0, 1, \dots, 7$, l'exposant est congru à $0$, $1$, $3$, $2$, $2$, $3$, $1$, $0$ modulo $4$. $$\boxed{\prod_{k=1}^{n} \mathrm{i}^{k} = 1,\ \mathrm{i},\ -\mathrm{i},\ -1,\ -1,\ -\mathrm{i},\ \mathrm{i},\ 1 \quad\text{pour } n \equiv 0, 1, \dots, 7 \ [8]}$$ On vérifie pour $n = 2$ : $\mathrm{i} \times \mathrm{i}^{2} = \mathrm{i}^{3} = -\mathrm{i}$ ✓.