ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 4 — Nombres complexes et trigonométrie · Le corps des nombres complexes

Exercice 15

Calcul

Chacun des raisonnements suivants contient une erreur. La localiser, l'expliquer, et corriger la conclusion lorsque c'est possible.

(a) « On a $\mathrm{i} > 0$ , donc, en multipliant par $\mathrm{i} > 0$ , $\mathrm{i}^{2} > 0$ , c'est-à-dire $-1 > 0$ . »

(b) « Pour tout complexe $z$ , $|z|^{2} = z^{2}$ , donc l'équation $|z|^{2} = -1$ a les solutions $\mathrm{i}$ et $-\mathrm{i}$ . »

(c) « Pour $a$ et $b$ réels non nuls, $\dfrac{1}{a + \mathrm{i} b} = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{\mathrm{i} b} = \dfrac{1}{a} - \dfrac{\mathrm{i}}{b}$ . »

(d) « Pour tout complexe $z$ , $|z + \mathrm{i}| = |z| + 1$ , donc le cercle $|z + \mathrm{i}| = 2$ est le cercle de centre $0$ et de rayon $1$ . »

Corrigé

• (a) L'écriture $\mathrm{i} > 0$ n'a pas de sens : le cours montre qu'il n'existe aucune relation d'ordre sur $\mathbb{C}$ compatible avec les opérations, et le « raisonnement » proposé en est précisément la démonstration par l'absurde. Il n'y a rien à corriger dans la conclusion, sinon qu'elle prouve que l'hypothèse est absurde.

• (b) L'égalité $|z|^{2} = z^{2}$ est fausse dès que $z$ n'est pas réel ; la bonne relation est $|z|^{2} = z\overline{z}$ . Comme $|z|^{2} \geqslant 0$ , l'équation $|z|^{2} = -1$ n'a aucune solution ; d'ailleurs $|\mathrm{i}|^{2} = 1$ .

• (c) L'inverse d'une somme n'est pas la somme des inverses, déjà dans $\mathbb{R}$ . La bonne formule est $\dfrac{1}{a + \mathrm{i} b} = \dfrac{a - \mathrm{i} b}{a^{2} + b^{2}}$ .

• (d) L'inégalité triangulaire donne seulement $|z + \mathrm{i}| \leqslant |z| + 1$ . L'ensemble $|z + \mathrm{i}| = 2$ est le cercle de centre $-\mathrm{i}$ et de rayon $2$ , puisque $|z + \mathrm{i}| = |z - (-\mathrm{i})|$ .

Énoncé PDF, p. 4 Corrigé PDF, p. 7 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Conjugaison et module

Thèmes

calcul dans ℂ, module, géométrie complexe

Notions

nombre complexe, module (d'un complexe)