Exercice 16

1. D'après le cours, $|z \pm z'|^{2} = |z|^{2} + |z'|^{2} \pm 2\operatorname{Re}(z\overline{z'})$ ; on ajoute les deux égalités. $$\boxed{|z + z'|^{2} + |z - z'|^{2} = 2\big(|z|^{2} + |z'|^{2}\big)}$$ Dans le parallélogramme construit sur les vecteurs d'affixes $z$ et $z'$, les diagonales ont pour longueurs $|z + z'|$ et $|z - z'|$ : la somme des carrés des diagonales est égale à la somme des carrés des quatre côtés.

2. On écrit $2z = (z + z') + (z - z')$ et $2z' = (z + z') - (z - z')$ ; l'inégalité triangulaire donne $$2|z| \leqslant |z + z'| + |z - z'| \qquad\text{et}\qquad 2|z'| \leqslant |z + z'| + |z - z'|,$$ et l'on ajoute. L'égalité exige l'égalité dans les deux inégalités. Si $u = z + z'$ et $v = z - z'$ étaient tous deux non nuls, on aurait $v = \lambda u$ et $-v = \mu u$ avec $\lambda, \mu > 0$, d'où $(\lambda + \mu)u = 0$, ce qui est impossible. Donc $u = 0$ ou $v = 0$, et réciproquement ces cas donnent l'égalité. $$\boxed{\text{égalité si et seulement si } z' = z \ \text{ ou } \ z' = -z}$$

3. Avec $z = a + \mathrm{i} b$, l'inégalité triangulaire donne $|z| \leqslant |a| + |\mathrm{i} b| = |a| + |b|$, avec égalité si et seulement si $a = 0$ ou $b = 0$, car $\mathrm{i} b$ et $a$ ne sont positivement proportionnels que si l'un est nul. Pour l'autre inégalité, entre réels positifs, $$\frac{(|a| + |b|)^{2}}{2} \leqslant a^{2} + b^{2} \iff 0 \leqslant (|a| - |b|)^{2}.$$

$$\boxed{\frac{|\operatorname{Re} z| + |\operatorname{Im} z|}{\sqrt{2}} \leqslant |z| \leqslant |\operatorname{Re} z| + |\operatorname{Im} z|}$$ avec égalité à gauche si et seulement si $|a| = |b|$, et à droite si et seulement si $z$ est réel ou imaginaire pur.