Exercice 17

La condition est suffisante : si $z_{k} = \lambda_{k}z_{1}$ avec $\lambda_{1} = 1$ et $\lambda_{k} > 0$, alors $\big|\sum z_{k}\big| = \big(\sum \lambda_{k}\big)|z_{1}| = \sum |z_{k}|$.

Réciproquement, supposons l'égalité, et notons $S = \sum z_{k}$. On a $|S| = \sum |z_{k}| > 0$, donc $S \neq 0$ ; posons $u = \frac{S}{|S|} \in \mathbb{U}$. Alors $$\sum_{k=1}^{n} |z_{k}| = |S| = \operatorname{Re}\big(S\,\overline{u}\big) = \sum_{k=1}^{n} \operatorname{Re}\big(z_{k}\overline{u}\big) \leqslant \sum_{k=1}^{n} |z_{k}\overline{u}| = \sum_{k=1}^{n} |z_{k}|.$$ Il y a donc égalité terme à terme : $\operatorname{Re}(z_{k}\overline{u}) = |z_{k}\overline{u}|$, ce qui signifie, comme dans la démonstration du théorème 3 du cours, que $z_{k}\overline{u}$ est un réel positif, à savoir $|z_{k}|$. Ainsi $z_{k} = |z_{k}|\,u$ pour tout $k$, et $$\boxed{z_{k} = \lambda_{k}z_{1} \quad\text{avec}\quad \lambda_{k} = \frac{|z_{k}|}{|z_{1}|} > 0}$$ Géométriquement, l'égalité a lieu si et seulement si tous les vecteurs ont même direction et même sens : la ligne brisée qui les met bout à bout est un segment.