Exercice 18

1. Si $|z| \leqslant 1$, alors $|\overline{a}z| = |a|\,|z| \leqslant |a| < 1$, donc $\overline{a}z \neq 1$ : $\boxed{1 - \overline{a}z \neq 0}$

2. On développe les deux carrés de modules par la formule $|u - v|^{2} = |u|^{2} + |v|^{2} - 2\operatorname{Re}(u\overline{v})$ : $$|1 - \overline{a}z|^{2} = 1 + |a|^{2}|z|^{2} - 2\operatorname{Re}(\overline{a}z) \qquad\text{et}\qquad |z - a|^{2} = |z|^{2} + |a|^{2} - 2\operatorname{Re}(z\overline{a}).$$ Les termes en $\operatorname{Re}$ sont égaux, et la différence vaut $1 + |a|^{2}|z|^{2} - |z|^{2} - |a|^{2} = (1 - |a|^{2})(1 - |z|^{2})$. On divise par $|1 - \overline{a}z|^{2} > 0$. $$\boxed{1 - \Big|\frac{z - a}{1 - \overline{a}z}\Big|^{2} = \frac{(1 - |a|^{2})(1 - |z|^{2})}{|1 - \overline{a}z|^{2}}}$$

3. Si $|z| < 1$, le membre de droite est strictement positif ; si $|z| = 1$, il est nul. $$\boxed{|z| < 1 \Rightarrow \Big|\frac{z - a}{1 - \overline{a}z}\Big| < 1 \qquad\text{et}\qquad |z| = 1 \Rightarrow \Big|\frac{z - a}{1 - \overline{a}z}\Big| = 1}$$

À retenir : l'application $z \mapsto \frac{z - a}{1 - \overline{a}z}$ envoie le disque unité ouvert dans lui-même et le cercle unité dans lui-même, en envoyant $a$ sur $0$ ; ces applications jouent un grand rôle en analyse complexe.