Exercice 19

1. Si $n^{2} + m^{2} = 3$, alors $n^{2} \leqslant 3$ et $m^{2} \leqslant 3$, donc $n, m \in \{-1, 0, 1\}$, et $n^{2} + m^{2} \leqslant 2$ : contradiction. $\boxed{3 \notin S}$

2. Si $s = n^{2} + m^{2} = |n + \mathrm{i} m|^{2}$ et $s' = p^{2} + q^{2} = |p + \mathrm{i} q|^{2}$, alors, par multiplicativité du module, $$ss' = |(n + \mathrm{i} m)(p + \mathrm{i} q)|^{2} = (np - mq)^{2} + (nq + mp)^{2},$$ et $np - mq$, $nq + mp$ sont des entiers : $\boxed{ss' \in S}$. Avec $13 = |2 + 3\mathrm{i}|^{2}$ et $17 = |1 + 4\mathrm{i}|^{2}$, on obtient $(2 + 3\mathrm{i})(1 + 4\mathrm{i}) = -10 + 11\mathrm{i}$, et, en remplaçant $1 + 4\mathrm{i}$ par son conjugué, $(2 + 3\mathrm{i})(1 - 4\mathrm{i}) = 14 - 5\mathrm{i}$. $$\boxed{221 = 10^{2} + 11^{2} = 14^{2} + 5^{2}}$$

3. On a $3 = 1 + 1 + 1$ et $5 = 4 + 1 + 0$. Les carrés inférieurs à $15$ sont $0$, $1$, $4$, $9$, et aucune somme de trois d'entre eux ne vaut $15$ : avec $9$, il faudrait $6 = a + b$ avec $a, b \in \{0, 1, 4\}$, impossible ; sans $9$, la somme est au plus $12$. $\boxed{15 \notin S', \text{ donc } S' \text{ n'est pas stable par produit}}$

La méthode de la question 2 repose sur une multiplication de $\mathbb{R}^{2}$, celle de $\mathbb{C}$, qui vérifie $|zz'| = |z|\,|z'|$ ; il n'existe pas de multiplication analogue sur $\mathbb{R}^{3}$, et le contre-exemple $3 \times 5 = 15$ le montre à sa manière.