Exercice 20

On remplace $\cos x$ et $\sin x$ par les formules d'Euler, on développe par la formule du binôme, et l'on regroupe les termes conjugués.

• (a) $\cos^{4} x = \dfrac{\mathrm{e}^{4\mathrm{i} x} + 4\mathrm{e}^{2\mathrm{i} x} + 6 + 4\mathrm{e}^{-2\mathrm{i} x} + \mathrm{e}^{-4\mathrm{i} x}}{16}$, d'où $\boxed{\cos^{4} x = \dfrac{\cos(4x) + 4\cos(2x) + 3}{8}}$

• (b) $(2\mathrm{i})^{5} = 32\mathrm{i}$ et $\sin^{5} x = \dfrac{(\mathrm{e}^{\mathrm{i} x} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i} x})^{5}}{32\mathrm{i}} = \dfrac{2\mathrm{i}\sin(5x) - 10\mathrm{i}\sin(3x) + 20\mathrm{i}\sin x}{32\mathrm{i}}$, d'où $$\boxed{\sin^{5} x = \frac{\sin(5x) - 5\sin(3x) + 10\sin x}{16}}$$

• (c) On écrit $\cos^{2} x\sin^{3} x = (1 - \sin^{2} x)\sin^{3} x$, ou l'on développe directement ; on trouve $$\boxed{\cos^{2} x\,\sin^{3} x = \frac{2\sin x + \sin(3x) - \sin(5x)}{16}}$$

• (d) On linéarise $\cos^{3} x = \frac{\cos(3x) + 3\cos x}{4}$, puis l'on utilise $\sin a\cos b = \frac{\sin(a + b) + \sin(a - b)}{2}$ : $$\cos^{3} x\sin(3x) = \frac{\sin(6x)}{8} + \frac{3\big(\sin(4x) + \sin(2x)\big)}{8},$$

On contrôle chaque formule en une valeur particulière : en $x = \frac{\pi}{2}$, (b) donne $\frac{1 + 5 + 10}{16} = 1$ ✓.