Exercice 21

1. Avec $c = \cos x$ et $s = \sin x$, la formule de Moivre et celle du binôme donnent $$(c + \mathrm{i} s)^{4} = c^{4} + 4\mathrm{i} c^{3}s - 6c^{2}s^{2} - 4\mathrm{i} cs^{3} + s^{4}.$$

2. La partie réelle de $(c + \mathrm{i} s)^{5}$ est $c^{5} - 10c^{3}s^{2} + 5cs^{4}$. On remplace $s^{2}$ par $1 - c^{2}$ : $$c^{5} - 10c^{3}(1 - c^{2}) + 5c(1 - c^{2})^{2} = \boxed{16c^{5} - 20c^{3} + 5c}.$$

3. Pour $x = \frac{\pi}{10}$, $\cos(5x) = 0$, et $c = \cos\frac{\pi}{10} \neq 0$ vérifie $16c^{4} - 20c^{2} + 5 = 0$, d'où $c^{2} = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{8}$. Le cosinus étant décroissant sur $[0\,,\pi]$ et $\frac{\pi}{10} < \frac{\pi}{6}$, on a $c^{2} > \frac{3}{4} = \frac{6}{8}$, ce qui élimine $\frac{5 - \sqrt{5}}{8} < \frac{3}{8}$ ; enfin $c > 0$. $$\boxed{\cos\frac{\pi}{10} = \sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{8}}}$$